Clasificación sobre $\mathbb {C}$.

TEOREMA 1.4.1   Dos formas bilineales simétricas sobre V, un $\mathbb {C}$ -espacio vectorial de dimensión finita, que tienen el mismo rango, difieren en un cambio de base (y, evidentemente, si difieren en un cambio de base, tienen el mismo rango).

Demostración. Por lo que se vió en la sección anterior, una forma bilineal simétrica sobre $\mathbb {C}$ admite siempre una base ortogonal. Sean f₁ y f₂ dos formas bilineales simétricas sobre V, que tengan el mismo rango r. Sea $\mathcal {B}$ = (e₁,..., e_n) una base ortogonal y ``normalizada'' para f₁: es decir, la matriz de f₁ en $\mathcal {B}$ es:

M₁ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} \left. \begin{array}{ccc} 1 & ... ...} 0 & \dots & \\ & \ddots &\\ & & 0 \end{array}\phantompar\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} \left. \begin{array}{ccc} 1 & \dots & \\ & \dd... ...egin{array}{ccc} 0 & \dots & \\ & \ddots &\\ & & 0 \end{array}\par\end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} \left. \begin{array}{ccc} 1 & ... ...} 0 & \dots & \\ & \ddots &\\ & & 0 \end{array}\phantompar\end{array}}\right)$$

En esa misma base, la matriz de f₂ será M₂. Pero sabemos que existe un cambio de base que transforma la matriz M₂ en M₁. Es decir:

M₁ = N^tM₁N

que es precisamente, decir que difieren en un cambio de base. $\qedsymbol$

Sobre $\mathbb {R}$, las cosas cambian un poco, porque no tenemos raíces cuadradas. (Y lo mismo pasa para las formas hermíticas):

TEOREMA 1.4.2   Sea f : V×V una forma bilineal simétrica sobre $\mathbb {R}$ (o una forma hermítica). Sea r = rg(f ). Existen naturales p, q con p + q = r y una base $\mathcal {B}$ = (e₁,..., e_p, e_p+1,..., e_p+q, e_p+q+1,..., e_n) tales que la matriz de f en dicha base es:

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} \left. \begin{array}{ccc} 1 &... ...cc} 0 & \dots &0\\ & \ddots & \\ 0 & \dots & 0 \end{array}\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} \left. \begin{array}{ccc} 1 & \dots &0\\ & \d... ...array}{ccc} 0 & \dots &0\\ & \ddots & \\ 0 & \dots & 0 \end{array}\end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} \left. \begin{array}{ccc} 1 &... ...cc} 0 & \dots &0\\ & \ddots & \\ 0 & \dots & 0 \end{array}\end{array}}\right)$$

Demostración. En la sección anterior se demostró que existe una base ortogonal para f, así que la tomamos: $\mathcal {B}$ = (e₁,..., e_n). La ordenamos de la siguiente manera: sea p el número de vectores de $\mathcal {B}$ tales que f (e, e) > 0. Sea q el número de vectores tales que f (e, e) < 0.

Para i = 1...p + q, tomamos e'_i = ${\frac{{1}}{{\sqrt{\vert f(e_{i},e_{i})\vert}}}}$e_i. Es claro que, en esta nueva base, la matriz tiene la forma pedida. (Los vectores de ker(f ) no se tocan porque anulan a todos y a sí mismos). $\qedsymbol$

Se tiene, de hecho, el siguiente resultado, para clasificar las formas bilineales simétricas sobre $\mathbb {R}$:

TEOREMA 1.4.3 (Teorema de inercia de Steiner)   Si f es una forma bilineal simétrica sobre un $\mathbb {R}$ -espacio vectorial V, entonces el número de +1 y el número de -1 de la matriz de f en cualquier base que satisfaga la tesis del teorema anterior es el mismo. Es decir, p y q son invariantes de la forma. A la matriz escrita arriba se le llama forma canónica de f.

HASTA AQUÍ LA CLASE 6 990222

Demostración. Podemos suponer que la forma es no degenerada, porque el rango es invariante y nos restringimos a un subespacio complementario del ker(f ). Supongamos, para llegar a una contradicción, que existen bases $\mathcal {B}$ = (e₁,..., e_p, f₁,..., f_q) y $\mathcal {B}$^$\prime$(e'₁,..., e'_p', f'₁,..., f'_q') tales que p < p' (y, por tanto, q > q'). Como p + q = n y p' + q' = n y, además, p < p', resulta que p' + q > n y, por la fórmula de las dimensiones, debe existir un vector

v $$\in$$ < e'₁,..., e'_p' > $$\cap$$ < f₁,..., f_q > .

Calculando, si v = (0,..., 0, w₁,..., w_q) en la base $\mathcal {B}$ y v = (v'₁,..., v'_p, 0,..., 0) en la base $\mathcal {B}$^$\prime$

$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r} i)\,\,f(v,v)=-w_{1}^{2}-\dots-w_{q}^{2}<0\\ ii)\,\,f(v,v)={v'_{1}}^{2}+\dots+{v'_{n}}^{2}>0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{r} i)\,\,f(v,v)=-w_{1}^{2}-\dots-w_{q}^{2}<0\\ ii)\,\,f(v,v)={v'_{1}}^{2}+\dots+{v'_{n}}^{2}>0 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r} i)\,\,f(v,v)=-w_{1}^{2}-\dots-w_{q}^{2}<0\\ ii)\,\,f(v,v)={v'_{1}}^{2}+\dots+{v'_{n}}^{2}>0 \end{array}}\right\}$$

que es, como todo el mundo sabe, una contradicción. $\qedsymbol$

COROLARIO 1.4.4   Dos formas bilineales simétricas sobre un $\mathbb {R}$ -espacio vectorial difieren en un cambio de base si y sólo si tienen el mismo número de +1 y -1 en sus formas canónicas.

Definición 1.4.5   El número p se llama signatura de f. El teorema de Steiner se enuncia diciendo que dos formas bilineales simétricas difieren en un cambio de base si y sólo si tienen mismo rango y misma signatura.