Nota sobre las formas cuadráticas

Definición 1.4.9 Sea V un K -espacio vectorial.

Dos formas cuadráticas Q₁, Q₂ : V $\rightarrow$ K son linealmente equivalentes si existe un automorfismo $\varphi$ : V $\rightarrow$ V tal que Q₁(v) = Q₂( $\varphi$ (v)). Que es lo mismo que decir que difieren en un cambio de base.
Se llama rango de una forma cuadrática Q al de f_Q. Si V es un espacio vectorial real, se llama signatura de Q a la de f_Q.

PROPOSICIÓN 1.4.10 Se tienen los siguientes resultados:

Si V es un espacio vectorial sobre $\mathbb {C}$ , dos formas cuadráticas son linealmente equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango.
Si V es un espacio vectorial sobre $\mathbb {R}$ , dos formas cuadráticas son linealmente equivalentes si y sólo si tienen mismo rango y misma signatura.

Definición 1.4.11 Sea V un $\mathbb {R}$ -espacio vectorial y Q una forma cuadrática sobre V. Se dice que Q es definida cuando f_Q lo es, es decir, si Q(u) $\neq$ 0 para todo u $\in$ V, u $\neq$ 0. Si Q es una forma definida, se dice que es definida positiva cuando Q(u) > 0 para todo u $\neq$ 0 y se dice que es definida negativa si Q(u) < 0 para todo u $\neq$ 0.

PROPOSICIÓN 1.4.12 Para formas definidas, es:

Dos formas cuadráticas sobre un $\mathbb {R}$ -espacio vectorial, definidas positivas (resp. definidas negativas) son siempre equivalentes.
Si Q : V $\rightarrow$ $\mathbb {R}$ es una forma cuadrática definida, entonces es definida positiva o definida negativa.

Demostración. La demostración de la primera afirmación ya se ha hecho con las formas bilineales simétricas. La de la segunda, se deja como ejercicio que conviene hacer. $\qedsymbol$

Nota 1.4.13 Para formas hermíticas también se definen el rango y la signatura, con +1 y -1 y se demuestra un teorema que tiene el mismo enunciado que el de Steiner: dos formas hermíticas difieren en un cambio de base si y sólo si tienen el mismo rango y la misma signatura.

Se acabó el tema de las formas bilineales en estado puro. Empezaremos con los espacios afín y métrico.