Componentes horizontal y vertical respecto de un subespacio

Dada una forma bilineal f : V×V $\rightarrow$ K no degenerada (no necesariamente simétrica) y dado un subespacio L $\subset$ V, se tiene, por las propiedades de los ortogonales, que

dim L + dim L^$\perp$ = dim V,

pero como f es no degenerada, la intersección L $\cap$ L^$\perp$ es el vector 0 (un vector está en L $\cap$ L^$\perp$ cuando es isótropo). Por tanto, se debe tener que

V = L $$\oplus$$ L^$\perp$.

Es decir, dado v $\in$ V, existen v_L y v_L^$\perp$ tales que v = v_L + v_L^$\perp$. Además, estos dos vectores son únicos; es decir, si v'_L y v'_L^$\perp$ están en L y L^$\perp$, respectivamente, y v = v'_L + v'_L^$\perp$, entonces v_L = v'_L y v_L^$\perp$ = v'_L^$\perp$ (por ser suma directa). El vector v_L se llama componente horizontal de v respecto de L y el vector v_L^$\perp$, componente vertical.

La manera de calcularla es simple. Se resuelva un sistema o, mejor (para mí), calcúlese una base ortogonal de f$\vert_{{L}}^{}$, extiéndase a una base de todo el espacio y termínese. (Evidentemente, si uno conoce v_L, conoce v_L^$\perp$, no hay más que poner v_L^$\perp$ = v - v_L.

Nota 1.4.8   Sobre los determinantes de Gram. Dada una forma bilineal simétrica definida, su matriz en una base se escribirá:

M(f,$$\mathcal {B}$$) = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} m_{11} & \cdots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} m_{11} & \cdots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} m_{11} & \cdots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{array}}\right)$$.

Se tiene lo siguiente (independientemente de la base):

• f es definida positiva si y sólo si lo menores de la diagonal son todos positivos:
  det(m₁₁) = m₁₁ > 0, det$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12}\\ m_{12} & m_{22}\\ \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} m_{11} & m_{12}\\ m_{12} & m_{22}\\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12}\\ m_{12} & m_{22}\\ \end{array}}\right)$$ > 0 det$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} m_{11} & \cdots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} m_{11} & \cdots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} m_{11} & \cdots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{array}}\right)$$ > 0.

• f es definida negativa si y sólo si esos mismos determinantes tienen signos alternados, comenzando por det(m₁₁) = m₁₁ < 0, el siguiente positivo, el siguiente negativo...

Esos determinantes se llaman determinantes de Gram respecto de la base $\mathcal {B}$. Este resultado se aplica, palabra por palabra, a las formas cuadráticas, construyendo la matriz de la forma bilineal asociada.