Definición y propiedades básicas

Fijemos un espacio vectorial V de dimensión finita n sobre un cuerpo K (que, como es habitual, será $\mathbb {R}$ ó $\mathbb {C}$). Sea $\mathbb {A}$ un conjunto cualquiera, a cuyos elementos denominaremos puntos. Diremos que la terna ($\mathbb {A}$, V, +) es un espacio afín si + es una aplicación

$$\mathbb {A}$$×V$$\;\stackrel{{+}}{{\longrightarrow}}\;$$$$\mathbb {A}$$

que cumple las siguientes condiciones:

1. Dados dos puntos $\bf P$,$\bf Q$, existe un vector v $\in$ V tal que $\bf P$ + v = $\bf Q$.
2. Dado un punto $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$, se tiene que $\bf P$ + v = $\bf P$ si y sólo si v = 0.
3. Dados un punto $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$ y dos vectores v, w $\in$ V, es ($\bf P$ + v) + w = $\bf P$ + (v + w).

Es importante tener una idea geométrica de lo que estamos diciendo: $\mathbb {A}$ es el conjunto de puntos del espacio, mientras que V es el espacio vectorial obtenido a partir de todos los vectores fijos que se pueden construir en $\mathbb {A}$, módulo la relación de equipolencia (tener misma dirección y sentido). Es decir, cuando $\mathbb {A}$ es el conjunto de puntos del espacio, V es el espacio vectorial $\mathbb {R}$³. Puede ayudar pensar que entendemos $\mathbb {R}$³ de dos formas diferentes: por un lado, como conjunto de puntos -que, de momento, no tienen ni coordenadas ni nada- y por otro, como el espacio vectorial que sería un conjunto de vectores que parten de un mismo sitio: el vector 0.

A partir de ahora, denotaremos por $\bf PQ$ al vector v (que es único) tal que $\bf P$ + v = $\bf Q$.

Propiedades que se deducen de la definición:

1. Dados dos puntos $\bf P$,$\bf Q$ $\in$ $\mathbb {A}$, el vector $\bf PQ$ (es decir, el único v $\in$ V tal que $\bf P$ + v = Q) es 0 si y sólo si $\bf P$ = $\bf Q$.
2. Dados tres puntos $\bf P$,$\bf Q$,$\bf R$ $\in$ $\mathbb {A}$, se tiene que $\bf PQ$ + $\bf QR$ = $\bf PR$.
3. Si $\bf P$ y $\bf Q$ son dos puntos, entonces $\bf PQ$ = - $\bf QP$.
4. Sean $\bf P$ y $\bf Q$ dos puntos y v, w dos vectores. Tomemos $\bf R$ = $\bf P$ + v, $\bf S$ = $\bf Q$ + w. Entonces $\bf RS$ = $\bf PQ$ + w - v.
5. En general, si K es un cuerpo, el conjunto Kⁿ se puede entender como un espacio afín sobre el espacio vectorial Kⁿ, donde la operación de sumar puntos con vectores es la natural: dados un punto $\bf P$ = (p₁,..., p_n) y un vector (v₁,..., v_n), se define $\bf P$ + v = (p₁ + v₁,..., p_n + v_n).