Referencia en un espacio afín. Coordenadas

De ahora en adelante, $\mathbb {A}$ será un espacio afín sobre un espacio vectorial V, que supondremos de dimensión n.

Definición 2.1.1   Una referencia en $\mathbb {A}$ es una familia $\mathcal {R}$ = ($\bf Q$,(e₁,..., e_n)), donde $\bf Q$ es un elemento de $\mathbb {A}$ -es decir, un punto- y (e₁,..., e_n) es una base de V. Al punto $\bf Q$ se le denomina origen de coordenadas.

Si fijamos una referencia $\mathbb {R}$ como arriba, a todo punto $\bf P$ del espacio afín $\mathbb {A}$ podemos asociarle una n -upla, que denominaremos coordenadas de $\bf P$ en la referencia $\mathcal {R}$, de la siguiente forma: tomamos el vector $\bf QP$ y calculamos sus coordenadas en la base (e₁,..., e_n), digamos $\bf QP$ = ($\lambda_{{{1}}}^{{}}$,...,$\lambda_{{{n}}}^{{}}$). La matriz (vector) ($\lambda_{{1}}^{}$,$\lambda_{{2}}^{}$,...,$\lambda_{{n}}^{}$) son las coordenadas de $\bf P$ en la referencia $\mathcal {R}$. Es claro que si $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$ tiene coordenadas (p₁,..., p_n) en la referencia $\mathcal {R}$ y v $\in$ V tiene coordenadas (v₁,..., v_n) en la base (e₁,..., e_n), entonces el punto $\bf R$ = $\bf P$ + v tiene coordenadas (r₁,..., r_n) con r₁ = p₁ + v₁,..., r_n = p_n + v_n.

PROPOSICIÓN 2.1.2 (Fórmulas del cambio de referencia)   Tomemos dos referencias $\mathcal {R}$ = (O,(e₁,..., e_n)) y $\mathcal {R}$^$\prime$ = (O',(e'₁,..., e'_n)) en el espacio afín ($\mathbb {A}$, V). Sean (p₁,..., p_n) las coordenadas de un punto $\bf P$ en la referencia $\mathcal {R}$ y (p'₁,..., p'_n) las coordenadas del mismo punto $\bf P$ en la referencia $\mathcal {R}$^$\prime$. Sea M = (m_ij) la matriz de cambio de base de (e₁,..., e_n) a (e'₁,..., e'_n) -es decir, e'_i = $\sum$m_jie_j (ojo a los subíndices m_ji). Entonces

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & 0 & \dots & ... ...\vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n} & m_{n1} & \dots & m_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & 0 & \dots & 0\\ \hline b_{1}... ...vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n} & m_{n1} & \dots & m_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & 0 & \dots & ... ...\vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n} & m_{n1} & \dots & m_{nn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p'_{1}\\ \vdots\\ p'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p'_{1}\\ \vdots\\ p'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p'_{1}\\ \vdots\\ p'_{n} \end{array}}\right)$$

donde (b₁,..., b_n) son las coordenadas de O' en la referencia $\mathcal {R}$.

Demostración. Se trata de una mera comprobación. Por las propiedades de los espacios afines, sabemos que $\bf OP$ = $\bf OO'$ + $\bf O'P$. Es decir,

$$\bf OP$$ = $$\bf OO'$$ + $$\sum$$p'_ie'_i.

de donde, como (m_ij) es la matriz de cambio de base de (e₁,..., e_n) a (e'₁,..., e'_n), se deduce que

$$\bf OP$$ = $$\bf OO'$$ + $$\sum_{{ij}}^{}$$p'_im_jie_j.

que, matricialmente se escribe

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}}\right)$$ + $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} m_{11} & \dots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \dots & m_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} m_{11} & \dots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \dots & m_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} m_{11} & \dots & m_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{n1} & \dots & m_{nn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} p'_{1}\\ \dots\\ p'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} p'_{1}\\ \dots\\ p'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} p'_{1}\\ \dots\\ p'_{n} \end{array}}\right)$$

y esta expresión se resume en la del enunciado. (Que conviene utilizar siempre, pues así uno distingue cuándo está utilizando un ``mero'' espacio vectorial y un ``complicado'' espacio afín. (por los $\bf 1$)). $\qedsymbol$

Ejemplo. Tomemos el espacio afín de los puntos del espacio (que para entendernos, denotaremos $\mathbb {A}$ = $\mathbb {R}$³). El espacio vectorial subyacente V es el espacio vectorial real $\mathbb {R}$³. Tomemos una referencia $\mathcal {R}$, formada por un punto cualquiera $\bf O$ $\in$ $\mathbb {A}$ y la base canónica de V = $\mathbb {R}$³ (cuyos elementos llamamos e_i). Tomemos otra referencia $\mathcal {R}$^$\prime$, formada por otro punto O' (cuyas coordenadas en la referencia $\mathcal {R}$ son O' = (1, 2, 3)) y la base de V dada por (e'₁, e'₂, e'₃) con e'₁ = (0, 1, 0), e'₂ = (1, 2, 5), e'₃ = (0, 0, 1). Sea ahora $\bf P$ un punto cualquiera de $\mathbb {A}$. Supongamos que las coordenadas de $\bf P$ en la referencia $\mathcal {R}$^$\prime$ son (p'₁, p'₂, p'₃). Cambiemos de referencia. No hay más que aplicar la fórmula. Si las coordenadas de $\bf P$ en la referencia $\mathcal {R}$ son (p₁, p₂, p₃), entonces

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{r} {\bf 1}\\ p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{r} {\bf 1}\\ p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r} {\bf 1}\\ p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 0\\ 3 &0 & 5 & 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 0\\ 3 &0 & 5 & 1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 2 & 0\\ 3 &0 & 5 & 1 \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{r} {\bf 1}\\ p'_{1}\\ p'_{2}\\ p'_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{r} {\bf 1}\\ p'_{1}\\ p'_{2}\\ p'_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r} {\bf 1}\\ p'_{1}\\ p'_{2}\\ p'_{3} \end{array}}\right)$$

Los $\bf 1$ en negrita son los ``espurios''.

En realidad, esa forma matricial la vamos a utilizar casi sólo en la teoría. Cuando uno se enfrenta a un problema, da igual poner la matriz grande (con los $\bf 1$) o usar la pequeña y sumar las corrdenadas del punto. Lo importante es el resultado final y que el razonamiento sea correcto.

Si el problema que se plantea es ``calcular el cambio de referencia de $\mathcal {R}$ a $\mathcal {R}$^$\prime$, necesitamos hacer lo siguiente:

Primero: calculamos la matriz (n_ij) inversa de (m_ij), en nuestro caso, (n_ij) es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -5 & 0 & 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -5 & 0 & 1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -5 & 0 & 1 \end{array}}\right)$$

que es la matriz de cambio de base de (e'₁, e'₂, e'₃) a (e₁, e₂, e₃).

Segundo: calculamos las coordenadas del vector $\bf O'O$ = - $\bf OO'$ en la nueva base. Para ello hay que cabiar de base dicho vector, que es (- 1, - 2, - 3) en la base de las e_i:

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -5 & 0 & 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -5 & 0 & 1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -5 & 0 & 1 \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{r} -1\\ 2\\ 3 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 3 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r} -1\\ 2\\ 3 \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{r} 0\\ -1\\ 2 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 2 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r} 0\\ -1\\ 2 \end{array}}\right)$$

Tercero: aplicamos la fórmula. Si (p'₁, p'₂, p'₃) son las coordenadas de P en la referencia $\mathcal {R}$^$\prime$, es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p'_{1}\\ \vdots\\ p'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p'_{1}\\ \vdots\\ p'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p'_{1}\\ \vdots\\ p'_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{r\vert rrr} {\bf 1} & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & -2 & 1 & 0\\ -1 &1 & 0 & 0\\ 2 &-5 & 0 & 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{r\vert rrr} {\bf 1} & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & -2 & 1 & 0\\ -1 &1 & 0 & 0\\ 2 &-5 & 0 & 1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r\vert rrr} {\bf 1} & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & -2 & 1 & 0\\ -1 &1 & 0 & 0\\ 2 &-5 & 0 & 1 \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{r} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{r} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{r} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{array}}\right)$$