Subespacios de un espacio afín

Fijemos un espacio afín ($\mathcal {A}$, V) de dimensión n sobre un cuerpo K. Vamos a hacer un poco de geometría de puntos, rectas, planos, hiperplanos afines, es decir, formados por puntos ``de verdad'', no por vectores.

Definición 2.1.3   Un subespacio del espacio afín $\mathbb {A}$ es un subconjunto S $\subset$ $\mathbb {A}$ tal que el conjunto de vectores

L = {$$\bf PQ$$ :  $$\bf P$$,$$\bf Q$$ $$\in$$ S}

es un subespacio vectorial de V.

Nota 2.1.4   El conjunto vacío se toma como subespacio afín (i. e. como espacio).

Definición 2.1.5   Sea $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$ un punto del espacio afín y E $\subset$ V un subespacio vectorial de V. Llamamos subespacio afín que pasa por $\bf P$ y tiene la dirección de E al conjunto formado por los puntos $\bf P$ + v, donde v ``recorre'' los vectores de E:

S($$\bf P$$, E) = {$$\bf Q$$ $$\in$$ $$\mathbb {A}$$ :    hay unv $$\in$$ E con $$\bf Q$$ = $$\bf P$$ + v}.

Nota 2.1.6   Nótese que el par (S($\bf P$, E), E) es un espacio afín según la definición que dimos arriba.

Con la notación de la definición, E se llama variedad de dirección de S($\bf P$, E). Si nos dan un conjunto S $\subset$ $\mathbb {A}$ que es un subespacio afín de $\mathbb {A}$, entonces (por ser subespacio), la familia de vectores L = {$\bf PQ$ : $\bf P$,$\bf Q$ $\in$ S} es un subespacio vectorial de V. Es elemental comprobar que, dado cualquier punto $\bf O$ $\in$ S, se tiene la igualdad S = S($\bf O$, L). Esto se suele decir ``la variedad de direcciones de un subespacio afín está determinada por el subespacio''.

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LEMA 2.1.7   Sea ($\mathbb {A}$, V) un espacio afín y S = ($\bf P$, E), S' = ($\bf P'$, E') dos subespacios afines. Se da la igualdad S = S' si y sólo si E = E' y además $\bf PP'$ $\in$ E.

Demostración. Por simetría, basta que demostremos una de las dos inclusiones. Veamos que S $\subset$ S'. Sea $\bf Q$ un punto de S. Sabemos que $\bf PP'$ $\in$ E y como $\bf P'$ $\in$ S', entonces $\bf P$ $\in$ S'. Así pues, al ser E = E', cualquier punto de $\mathbb {A}$ de la forma $\bf P$ + e, con e $\in$ E, está en S'. Pero $\bf Q$ = $\bf P$ + $\bf PQ$. Por tanto, $\bf Q$ $\in$ S'. $\qedsymbol$

Definición 2.1.8   La dimensión de un espacio afín ($\mathbb {A}$, V) es la dimensión de V, salvo cuando $\mathbb {A}$ es vacío, en cuyo caso dim($\mathbb {A}$) = - 1.

PROPOSICIÓN 2.1.9   Dada una familia cualquiera {S_i = S($\bf P_{{i}}^{}$, E_i)}_{i $\in$ I} de subespacios afines de un espacio afín ($\mathbb {A}$, V), el conjunto intersección

S = $$\bigcap_{{i}}^{}$$S_i

es un subespacio afín de $\mathbb {A}$ (que puede ser vacío).

Demostración. Si la intersección es vacía, automáticamente es un subespacio afín. Supongamos, pues que no es vacía. Basta con que demostremos que existe un punto $\bf Q$ $\in$ $\mathbb {A}$ y un subespacio vectorial E de V tales que $\cap_{{i}}^{}$ S_i = S($\bf Q$, E). Fijamos un punto cualquiera $\bf Q$ $\in$ S = $\cap_{{i}}^{}$ S_i. Tomemos el subconjunto de V siguiente:

E = {$$\bf QR$$ : $$\bf R$$ $$\in$$ S}

es decir, el conjunto formado por todos los vectores que parten de $\bf Q$ y llegan a otro punto de la intersección. Si demostramos que E es un subespacio vectorial hemos terminado, pues automáticamente ha de ser S = S($\bf Q$, E).

Sean, pues u, v $\in$ E y $\lambda$,$\mu$ $\in$ K. Consideremos el vector w = $\lambda$u + $\mu$v. Como u, v $\in$ E, existen $\bf R_{u}$ y $\bf R_{v}$ en S tales que u = $\bf QR_{u}$, v = $\bf QR_{v}$. Al estar $\bf Q$,$\bf R_{u}$ y $\bf R_{v}$ en todos los S_i, también lo están $\bf P$ = $\bf Q$ + $\lambda$u y $\bf P'$ = $\bf P$ + $\mu$v = $\bf Q$ + $\lambda$u + $\mu$v, que es lo que queríamos comprobar. $\qedsymbol$

Operaciones con subespacios afines. En la proposición anterior hemos demostrado que la intersección de subespacios afines es un subespacio afín. Vamos ahora a construir el subespacio ``suma'' y el ``linearizado'' de un subconjunto de puntos.

Definición 2.1.10   Dado un subconjunto S $\subset$ $\mathbb {A}$ de un espacio afín, definimos el linearizado de S, que denotaremos L_A(S), (A de afín) como el menor subespacio afín de $\mathbb {A}$ que contiene a S. Dada una familia (S_i, E_i) de subespacios afines de $\mathbb {A}$, se define el subespacio suma $\sum$(S_i, E_i) como el linearizado de la unión S = $\cup$ S_i (el menor subespacio afín que contiene a todos los S_i).

Definición 2.1.11   Sean S₁ y S₂ dos subconjuntos de un espacio afín ($\mathbb {A}$, V). Se dice que S₂ depende afínmente de S₁, si S₂ $\subset$ L_A(S₁). Se comprueba de modo elemental que

a)

S₁ depende afínmente de S₁.

b)

Si S₁ $\subset$ S₂, entonces S₁ depende afínmente de S₂.

c)

Si S₁ depende afínmente de S₂ y S₂ depende afínmente de S₃, entonces S₁ depende afínmente de S₃.

En particular, se dice que un punto $\bf P$ depende afínmente de los puntos $\bf P_{1}$,...,$\bf P_{n}$ si {$\bf P$} depende afínmente de {$\bf P_{1}$,...,$\bf P_{n}$}.

PROPOSICIÓN 2.1.12   Si S $\subset$ $\mathbb {A}$ es un subconjunto de $\mathbb {A}$ y $\bf P$ $\in$ S es un punto cualquiera de S, entonces el linearizado de S es L_A(S) = ($\bf P$, E), donde E = L({$\bf PQ$ : $\bf Q$ $\in$ S}). Es decir, para calcular el linearizado no hay más que conocer un punto P y calcular el linearizado del conjunto de ``vectores que puedo formar en S partiendo de $\bf P$''.

Demostración. Que la construcción de L_A(S) de arriba es un subespacio afín es evidente (punto + variedad de direcciones). Que es el más pequeño es también evidente, pues la variedad de direcciones de cualquier subespacio afín que contenga a S debe contener todos los vectores $\bf PQ$ con $\bf Q$ $\in$ S, y por tanto, debe contener a E. $\qedsymbol$

COROLARIO 2.1.13   Si (S_i)_{i $\in$ I} es una familia de subespacios de un espacio afín ($\mathbb {A}$, V), donde S_i = S($\bf P_{i}$, E_i), entonces

$$\sum$$S_i = S($$\bf P$$, E)

con $\bf P$ = $\bf P_{i}$ para un i cualquiera y E = $\sum$E_i + L({$\bf P_{i}P_{j}$ : j $\in$ I}).

Demostración. Se deja como ejercicio que conviene hacer. $\qedsymbol$

Hay que tener en la cabeza tanto los E_i como los $\bf P_{i}P_{j}$: en el espacio afín $\mathbb {R}$³, la suma de dos rectas que se cruzan es el total, mientras que la suma de dos rectas que se cortan en un punto es un plano.

También se deja como ejercicio la comprobación del siguiente resultado importante (a la hora de hacer cuentas):

COROLARIO 2.1.14   Sean S₁ = S($\bf P_{1}$, E₁) y S₂ = ($\bf P_{2}$, E₂) dos subespacios afines de un espacio afín ($\mathbb {A}$, V). Se tiene

1. Si S₁ $\cap$ S₂ $\neq$ $\emptyset$ entonces S₁ + S₂ = S($\bf P_{1}$, E₁ + E₂).
2. Si S₁ $\cap$ S₂ = $\emptyset$ entonces S₁ + S₂ = S($\bf P_{1}$, E₁ + E₂ + L($\bf P_{1}$$\bf P_{2}$)).

TEOREMA 2.1.15 (Fórmula afín de las dimensiones)   Sean S₁ y S₂ dos subespacios afines de un espacio afín ($\mathbb {A}$, V). Se verifica siempre que

dim(S₁) + dim(S₂) $$\geq$$ dim(S₁ + S₂) + dim(S₁ $$\cap$$ S₂).

Y se tiene la igualdad sólo en los dos casos siguientes:

a)

Cuando S₁ $\cap$ S₂ $\neq$ $\emptyset$.

b)

Cuando S₁ $\cap$ S₂ = $\emptyset$ y la intersección de las variedades de dirección de S₁ y S₂ es exactamente {0}.

Demostración. Escribimos S₁ = S($\bf P_{1}$, E₁) y S₂ = S($\bf P_{2}$, E₂). Vamos a distinguir dos casos.

1. S₁ $\cap$ S₂ $\neq$ $\emptyset$. Entonces S₁ + S₂ = S($\bf P_{1}$, E₁ + E₂), según el Corolario 1.14. También se tiene que si $\bf P$ $\in$ S₁ $\cap$ S₂, entonces S₁ $\cap$ S₂ = S($\bf P$, E₁ $\cap$ E₂). Por tanto,
   dim(S₁ + S₂) + dim(S₁ $$\cap$$ S₂) = dim(E₁ + E₂) + dim(E₁ $$\cap$$ E₂) = $$\star$$
   y ésta última expresión es
   $$\star$$ = dim(E₁) + dim(E₂) = dim(S₁) + dim(S₂)
   por definición. Con lo que se tiene la fórmula.
2. Cuando S₁ $\cap$ S₂ = $\emptyset$, el vector $\bf P_{1}P_{2}$ no está en E₁ + E₂. (Se deja como ejercicio comprobar eso). Por tanto,

   $$\bf P_{1}P_{2}$$

   $$\bf P_{1}P_{2} \cap \bf P_{1}P_{2}$$ = dim(E₁ + E₂) + 1 - 0 = dim(E₁ + E₂) + 1.

   
   
   y, por tanto,

   $$\cap$$ = dim(E₁ + E₂) + 1 - 1 = dim(E₁ + E₂) =

   $$\cap$$

   $$\cap$$

   
   
   de donde
   dim(S₁ + S₂) + dim(S₁ $$\cap$$ S₂) $$\leq$$ dim(S₁) + dim(S₂)
   y se verifica la igualdad si y sólo si E₁ $\cap$ E₂ = {0}.

$\qedsymbol$

Definición 2.1.16   Dos subespacios afines S₁ = ($\bf P_{1}$, E₁) y S₂ = ($\bf P_{2}$, E₂) se cortan si su intersección es no vacía. Diremos que se cruzan si su intersección es vacía y además, E₁ $\cap$ E₂ = {0}. Son paralelos si E₁ $\subset$ E₂ (ó E₂ $\subset$ E₁) y son estrictamente paralelos si son paralelos y no se cortan. La igualdad en la fórmula de las dimensiones se verifica si y sólo si S₁ y S₂ se cortan o se cruzan y no se verifica si y sólo si son estrictamente paralelos.

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