Ecuaciones de una recta. Paralelismo de rectas

Como antes, ($\mathbb {A}$, V) es un espacio afín de dimensión n.

Una recta es (...) un subespacio afín de dimensión 1. La demostración del siguiente resultado es un ejercicio teórico muy sencillo:

PROPOSICIÓN 2.1.18   Dados dos puntos distintos $\bf P$,$\bf Q$ en un espacio afín $\mathbb {A}$, existe una única recta que los contiene.

Estudiemos las rectas por medio de coordenadas. Sea $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)) una referencia afín de $\mathbb {A}$. Supongamos que los puntos $\bf P$ y $\bf Q$ (que tomamos distintos) tienen, respectivamente, coordenadas (p₁,..., p_n) y (q₁,..., q_n). Entonces la ecuación paramétrica de L_A($\bf P$,$\bf Q$) es

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{1}=p_{1}+\lambda (p_{1}-q_{1})\\ \dots\\ x_{n}=p_{n}+\lambda (p_{n}-q_{n}) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{1}=p_{1}+\lambda (p_{1}-q_{1})\\ \dots\\ x_{n}=p_{n}+\lambda (p_{n}-q_{n}) \end{array}$$ Atención: sólo hay un $&lambda#lambda;$.

Si llamamos v al vector v = $\bf PQ$ y lo escribimos en coordenadas v = (v₁,..., v_n) (o si sólo nos dan un punto $\bf P$ y un vector v), tenemos que las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por $\bf P$ y tiene dirección v son

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{1}=p_{1}+\lambda v_{1}\\ \dots\\ x_{n}=p_{n}+\lambda v_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{1}=p_{1}+\lambda v_{1}\\ \dots\\ x_{n}=p_{n}+\lambda v_{n} \end{array}$$

que eran conocidas por todos, supongo.

De todas las discusiones de este capítulo, se deduce que un sistema de r ecuaciones implícitas

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a_{1}+a_{11}x_{1}+\dots +a_{1n}x_{n}=0\\ \dots\\ a_{r}+a_{r1}x_{1}+\dots +a_{rn}x_{n}=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} a_{1}+a_{11}x_{1}+\dots +a_{1n}x_{n}=0\\ \dots\\ a_{r}+a_{r1}x_{1}+\dots +a_{rn}x_{n}=0 \end{array}$$

define una recta afín en $\mathbb {A}$ (recuerdo que $\mathbb {A}$ tiene dimensión n) si y sólo si

rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right)$$ = rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a_{1} & a_{11} & \dots... ...\vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r} & a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} a_{1} & a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r} & a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a_{1} & a_{11} & \dots... ...\vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r} & a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right)$$ = n - 1

Atención: hay que comprobar que el rango de la matriz (a_ij) es el mismo que el de la extendida (si no, lo que definen esas ecuaciones es el conjunto vacío). Un ejemplo: las ecuaciones x + y = 0 y x + y + 1 = 0 no definen una recta en $\mathbb {R}$³ porque no se cortan.

Dos rectas r₁ y r₂ son paralelas cuando sus variedades de dirección son la misma. Si las tenemos expresadas en paramétricas:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} r_{1}\equiv x_{i}=a_{i}+\lambd... ...{2}\equiv x_{i}=b_{i}+\mu w_{i},\,\,\text{ para }i=1\dots n \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} r_{1}\equiv x_{i}=a_{i}+\lambda v_{i},\,\,\text{... ... n\\ r_{2}\equiv x_{i}=b_{i}+\mu w_{i},\,\,\text{ para }i=1\dots n \end{array}$$

entonces son paralelas si y sólo si los vectores v = (v₁,..., v_n) y v = (w₁,..., w_n) son linealmente dependientes. (Si las rectas son la misma, entonces también son paralelas, ojo). Son estrictamente paralelas si además de ser paralelas, su intersección es vacía, es decir, si los vectores (a₁ - b₁,..., a_n - b_n) y v = (v₁,..., v_n) son independientes. (Donde ponemos v podemos poner w, puesto que estos dos son proporcionales por ser paralelas).

Para terminar, las dos rectas r₁ y r₂ de arriba se cruzan si y sólo si no se cortan y los vectores v y w son linealmente independientes. Esto se resume en que los tres vectores (a₁ - b₁,..., a_n - b_n), v, w son linealmente independientes. Dejamos los detalles como ejercicio facilísimo.

En cualquier otro caso, se cortan en un sólo punto.

ATENCIÓN

Otra vez, en el Aroca, os encontráis las ecuaciones

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{i}=\lambda p_{i}+\mu q_{i}\\ {\bf 1}=\lambda +\mu \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{i}=\lambda p_{i}+\mu q_{i}\\ {\bf 1}=\lambda +\mu \end{array}$$

pero mejor no liarse