Ecuaciones de un hiperplano. Paralelismo de hiperplanos

Definición 2.1.19   Un hiperplano de un espacio afín ($\mathbb {A}$, V) de dimensión n es un subespacio afín de dimensión n - 1.

Utilizaremos la misma referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)) de la sección anterior. De la definición se deduce que un subespacio afín se puede definir mediante:

1. Un punto $\bf P$ y n - 1 vectores linealmente independientes. En este caso, si las coordenadas de $\bf P$ son $\bf P$ = (p₁,..., p_n) y los vectores v₁,..., v_n-1 linealmente independientes se escriben v_i = (v_i1,..., v_in), para i = 1...n - 1, entonces el hiperplano que pasa por $\bf P$ y cuya variedad de dirección está generada por v₁,..., v_n tiene coordenadas paramétricas
   $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{1}=p_{1}+\lambda _{1}v_{11}... ...n}=p_{n}+\lambda _{1}v_{1n}+\dots +\lambda _{n-1}v_{(n-1)n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{1}=p_{1}+\lambda _{1}v_{11}+\dots +\lambda _{... ...s\\ x_{n}=p_{n}+\lambda _{1}v_{1n}+\dots +\lambda _{n-1}v_{(n-1)n} \end{array}$$

2. n puntos afínmente independientes. Es decir, n puntos $\bf P_{1}$,...,$\bf P_{n}$ tales que los vectores $\bf P_{1}P_{2}$,...,$\bf P_{1}P_{n}$ son linealmente independientes. Si estos puntos tienen por coordenadas $\bf P_{i}$ = (p_i1,..., p_in), entonces las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por ellos son
   $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{1}=p_{n1}+\lambda _{1}(p_{1... ...{1}(p_{1n}-p_{nn})+\dots +\lambda _{n-1}(p_{(n-1)n}-p_{nn}) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{1}=p_{n1}+\lambda _{1}(p_{11}-p_{n1})+\dots +... ...lambda _{1}(p_{1n}-p_{nn})+\dots +\lambda _{n-1}(p_{(n-1)n}-p_{nn}) \end{array}$$

De todo esto se deduce también que un hiperplano queda determinado por una sola ecuación implícita

b + x₁a₁ + ... + x_na_n = 0,

donde se supone que no todos los a_i son nulos, claro.

Paralelismo de hiperplanos. Dos hiperplanos $\Pi_{{1}}^{}$,$\Pi_{{2}}^{}$ son paralelos si sus variedades de dirección son la misma. Si las ecuaciones implícitas de $\Pi_{{1}}^{}$ y $\Pi_{{2}}^{}$ son, respectivamente

$$\Pi_{{1}}^{}$$ $$\equiv$$ a + x₁a₁ + ... + x_na_n = 0

$$\Pi_{{2}}^{}$$ $$\equiv$$ b + x₁b₁ + ... + x_nb_n = 0

entonces sus variedades de dirección son, respectivamente x₁a₁ + ... + x_na_n = 0 y x₁b₁ + ... + x_nb_n = 0, y éstas coinciden si y sólo si los vectores (a₁,..., a_n) y (b₁,..., b_n) son linealmente dependientes (i. e. proporcionales). Para que sean estrictamente paralelos se tiene que cumplir también que los vectores (a₁,..., a_n, a) y (b₁,..., b_n, b) sean linealmente independientes. En términos matriciales:

$$\Pi_{{1}}^{}$$ y $$\Pi_{{2}}^{}$$ paralelos $$\Leftrightarrow$$ rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & \dots & a_{n}\\ b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{1} & \dots & a_{n}\\ b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & \dots & a_{n}\\ b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}}\right)$$ = 1

mientras que

$$\Pi_{{1}}^{}$$ y $$\Pi_{{2}}^{}$$ estrictamente paralelos $$\Leftrightarrow$$ paralelos y rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & \dots & a_{n}\\ b & b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & \dots & a_{n}\\ b & b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & \dots & a_{n}\\ b & b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}}\right)$$ = 2

Atención: Para saber si son estrictamente paralelos hay que comprobar que son paralelos, es decir, que el rango de la matriz

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & \dots & a_{n}\\ b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{1} & \dots & a_{n}\\ b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & \dots & a_{n}\\ b_{1} & \dots & b_{n} \end{array}}\right)$$

es 1. No vale con decir que el rango de la extendida es 2, pues eso también lo cumplen hiperplanos que se cortan.