Ecuaciones de subespacios afines

Fijamos un espacio afín ($\mathbb {A}$, V) de dimensión n sobre el cuerpo K. Puesto que vamos a hablar de ecuaciones, lo primero que necesitamos es un sistema de coordenadas. En los espacios afines, las coordenadas se dan relativas a una referencia. Por tanto, suponemos que tenemos una referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)).

I.-Ecuaciones paramétricas de un subespacio S($\bf P$, E).

Sea $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$ y E un subespacio vectorial de V. Pretendemos estudiar las coordenadas del subespacio de $\mathbb {A}$ que pasa por $\bf P$ y tiene por variedad de dirección a E, es decir, de S($\bf P$, E). El subespacio vectorial E tendrá unas coordenadas paramétricas

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{1}=v_{11}\lambda _{1}+\dots... ...vdots\\ x_{n}=v_{1n}\lambda _{1}+\dots +v_{rn}\lambda _{r} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{1}=v_{11}\lambda _{1}+\dots +v_{r1}\lambda _{... ...r}\\ \vdots\\ x_{n}=v_{1n}\lambda _{1}+\dots +v_{rn}\lambda _{r} \end{array}$$

como subespacio de V, donde la matriz (v_ij) es la matriz de un sistema de generadores (v₁,..., v_r) de E escrito en la base (e₁,..., e_n). El punto $\bf P$ tendrá unas coordenadas (p₁,..., p_n) en la referencia $\mathcal {R}$. Si $\bf Q$ es otro punto de $\mathbb {A}$ con coordenadas (q₁,..., q_n), se tiene que $\bf Q$ $\in$ S($\bf P$, E) si y sólo si $\bf Q$ = $\bf P$ + v con v $\in$ E. Es decir, (q₁,..., q_n) $\in$ S($\bf P$, E) si y sólo si existen $\lambda_{{i}}^{}$ $\in$ K con

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} q_{1}=p_{1}+v_{11}\lambda _{1}... ... q_{n}=p_{n}+v_{1n}\lambda _{1}+\dots +v_{rn}\lambda _{r} \end{array} }\right. \begin{array}{l} q_{1}=p_{1}+v_{11}\lambda _{1}+\dots +v_{r1}\lam... ... \vdots\\ q_{n}=p_{n}+v_{1n}\lambda _{1}+\dots +v_{rn}\lambda _{r} \end{array}$$ (2.1)

que, matricialmente se expresa: un punto (x₁,..., x_n) está en S($\bf P$, E) si y sólo si

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} p_{1} & v_{11} & \dots... ...\vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n} & v_{1n} & \dots & v_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} p_{1} & v_{11} & \dots & v_{r1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n} & v_{1n} & \dots & v_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} p_{1} & v_{11} & \dots... ...\vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n} & v_{1n} & \dots & v_{rn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r} \end{array}}\right)$$

De toda esta construcción se deduce que

1. La matriz de términos independientes es la matriz (vector) de coordenadas de un punto de S($\bf P$, E) que no es necesariamente $\bf P$.
2. Los vectores (e₁,..., e_r) no tienen por qué ser independientes. En concreto,
   dim(S($$\bf P$$, E)) = dim(E) = rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} v_{11} & \dots & v_{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{1n} & \dots & v_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} v_{11} & \dots & v_{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{1n} & \dots & v_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} v_{11} & \dots & v_{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{1n} & \dots & v_{rn} \end{array}}\right)$$

3. Cualquier sistema de ecuaciones parámetricas como (2) define un subespacio afín. Además, dado un sistema de ese tipo, se calcula el subespacio que describen S = S($\bf P$, E) tomando como punto $\bf P$ el dado por los términos independientes (p₁,..., p_n) y como variedad de direcciones el subespacio vectorial de V generado por los vectores (v₁₁,..., v_1n),...,(v_r1,..., v_rn).

II.-Ecuaciones implícitas de S($\bf P$, E).

Como antes, fijamos un punto $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$ con coordenadas (p₁,..., p_n) en la referencia $\mathcal {R}$ y un subespacio vectorial E de V. Supongamos que E está descrito en forma implícita por las ecuaciones

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}=0\\ \dots\\ a_{r1}x_{1}+\dots+a_{rn}x_{n}=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}=0\\ \dots\\ a_{r1}x_{1}+\dots+a_{rn}x_{n}=0 \end{array}$$

que significa que un vector (x₁,..., x_n) pertenece a E si y sólo si

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}}\right)$$

Un punto $\bf Q$ $\in$ $\mathbb {A}$ estará en S($\bf P$, E) si y sólo si el vector $\bf PQ$ está en E. En coordenadas, si $\bf P$ = (p₁,..., p_n) y $\bf Q$ = (q₁,..., q_n) entonces $\bf Q$ $\in$ S($\bf P$, E) si y sólo si

$$\bf PQ$$ = (q₁ - p₁,..., q_n - p_n) $$\in$$ E

es decir, si y sólo si

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{r1} & \dots & a_{rn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} q_{1}-p_{1}\\ \vdots\\ q_{n}-p_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} q_{1}-p_{1}\\ \vdots\\ q_{n}-p_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} q_{1}-p_{1}\\ \vdots\\ q_{n}-p_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}}\right)$$

o, lo que es lo mismo, escribiéndolo en forma de ecuación (en las incógnitas q_i):

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a_{11}q_{1}+\dots +a_{1n}q_{n}+b_{1}=0\\ \dots\\ a_{r1}q_{1}+\dots+a_{rn}q_{n}+b_{r}=0 \end{array} }\right. \begin{array}{l} a_{11}q_{1}+\dots +a_{1n}q_{n}+b_{1}=0\\ \dots\\ a_{r1}q_{1}+\dots+a_{rn}q_{n}+b_{r}=0 \end{array}$$ (2.2)

donde b_i = - a_i1p₁ - ... - a_inp_n se obtiene haciendo el producto

($$\begin{array}{ccc} a_{i1} & \dots & a_{in} \end{array}$$)$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right)$$

Y se tienen los siguientes resultados:

1. Cualquier sistema de la forma (3) define una subvariedad afín de $\mathbb {A}$ (que puede ser el vacío si el sistema no tiene solución).
2. Dado un sistema de la forma (3), si llamamos S a la variedad afín que define, entonces S = S($\bf P$, E), donde $\bf P$ = (p₁,..., p_n) es una solución particular del sistema (3) y E es el subespacio de V definido por el sistema
   $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}=0\\ \dots\\ a_{r1}x_{1}+\dots+a_{rn}x_{n}=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}=0\\ \dots\\ a_{r1}x_{1}+\dots+a_{rn}x_{n}=0 \end{array}$$
   que es el sistema homogéneo asociado a (3).
3. La dimensión de S es la de L, que es n - rg(a_ij) siempre que el sistema (3) tenga solución. Si no la tiene, entonces S = $\emptyset$ y dim(S) = - 1. Esto último ocurre cuando la matriz de coeficientes de (3) tiene rango menor que la extendida.

HASTA AQUÍ CLASE 10: 990305

III.-Ecuaciones del subespacio afín que pasa por r puntos.

Recordemos que hemos fijado una referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)) en el espacio afín $\mathbb {A}$. Vamos a escribir las ecuaciones parámetricas del subespacio ``generado'' por r puntos. Es decir, del menor subespacio que los contiene. Llamemos $\bf P_{i}$, con i = 1...r a los puntos de partida y escribamos en la referencia $\mathcal {R}$ sus coordenadas: $\bf P_{1}$ = (p₁₁,..., p_1n), ..., $\bf P_{r}$ = (p_r1,..., p_rn). Lo primero que hacemos es calcular las ecuaciones paramétricas de la variedad de direcciones de S = L_A({$\bf P_{1}$,...,$\bf P_{r}$}), que llamaremos E. Como se vio arriba, E está generado por los vectores {$\bf P_{r}P_{1}$,...,$\bf P_{r}P_{r-1}$}. Es decir, un sistema de generadores (v₁,..., v_r) de E escrito en la base (e₁,..., e_n) es

v₁ = (p₁₁ - p_r1,..., p_1n - p_rn),..., v_r = (p_(r-1)1 - p_r1,..., p_(r-1)n - p_rn)

y, por tanto, unas ecuaciones parámetricas de S son las siguientes:

(x₁,..., x_n) $$\in$$ S  $$\Leftrightarrow$$  $$\exists$$$$\lambda_{{1}}^{}$$,...,$$\lambda_{{r}}^{}$$ $$\in$$ K con

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x_{1}=p_{r1}+\lambda _{1}(p_{1... ...{1}(p_{1n}-p_{rn})+\dots +\lambda _{r-1}(p_{(r-1)n}-p_{rn}) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x_{1}=p_{r1}+\lambda _{1}(p_{11}-p_{r1})+\dots +... ...lambda _{1}(p_{1n}-p_{rn})+\dots +\lambda _{r-1}(p_{(r-1)n}-p_{rn}) \end{array}$$

que dependen de r - 1 parámetros. Matricialmente,

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} p_{r1} & p_{11}-p_{r1}... ...dots\\ p_{rn} & p_{1n}-p_{rn} & \dots & p_{(r-1)n}- p_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} p_{r1} & p_{11}-p_{r1} & \dots & p_{(r-... ...ots & \vdots\\ p_{rn} & p_{1n}-p_{rn} & \dots & p_{(r-1)n}- p_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} p_{r1} & p_{11}-p_{r1}... ...dots\\ p_{rn} & p_{1n}-p_{rn} & \dots & p_{(r-1)n}- p_{rn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r-1} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r-1} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r-1} \end{array}}\right)$$

y una vez escrito así se procede como siempre -si es necesario- a escribirlo en forma implícita. La dimensión de S es exactamente

dim(S) = rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} p_{11}-p_{r1} & \dots & p_{(r... ...dots & \vdots\\ p_{1n}-p_{rn} & \dots & p_{(r-1)n}- p_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} p_{11}-p_{r1} & \dots & p_{(r-1)1}-p_{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{1n}-p_{rn} & \dots & p_{(r-1)n}- p_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} p_{11}-p_{r1} & \dots & p_{(r... ...dots & \vdots\\ p_{1n}-p_{rn} & \dots & p_{(r-1)n}- p_{rn} \end{array}}\right)$$ = rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} {\bf 1} & \dots & {\bf 1}\\ ... ...{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{1n} & \dots & p_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} {\bf 1} & \dots & {\bf 1}\\ \hline p_{11} & \dots & p_{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{1n} & \dots & p_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} {\bf 1} & \dots & {\bf 1}\\ ... ...{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{1n} & \dots & p_{rn} \end{array}}\right)$$ - 1

ATENCIÓN

Nota 2.1.17   En el libro de Aroca (y es posible que en otros también) se encuentra la siguiente ecuación ``pseudoparamétrica'': (x₁,..., x_n) $\in$ S si y sólo si

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} {\bf 1} & \dots & {\bf 1}\\ ... ...{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{1n} & \dots & p_{rn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} {\bf 1} & \dots & {\bf 1}\\ \hline p_{11} & \dots & p_{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{1n} & \dots & p_{rn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} {\bf 1} & \dots & {\bf 1}\\ ... ...{r1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{1n} & \dots & p_{rn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} \lambda _{1}\\ \vdots\\ \lambda _{r} \end{array}}\right)$$

pero prefiero no utilizarla porque lleva a confusión (uno piensa que tiene r parámetros, cuando en realidad como mucho tiene r - 1).