El plano afín

Se llama plano afín sobre un cuerpo K al espacio afín de dimensión 2. Los únicos subespacios afines del plano afín son, por tanto, el vacío, los puntos, las rectas y el total. Además, las rectas son a la vez rectas e hiperplanos según la nomenclatura de la sección anterior. Fijamos una referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁, e₂)). Utilizaremos coordenadas x, y.

I.- Una recta r en el plano afín viene determinada por

• Una ecuación paramétrica de la forma
  r $$\equiv$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x=a + \lambda v_{1}\\ y=b + \lambda v_{2} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x=a + \lambda v_{1}\\ y=b + \lambda v_{2} \end{array}$$
  donde (a, b) son las coordenadas de un punto de r y (v₁, v₂) son las coordenadas del vector director (que es un vector cualquiera que genere la variedad de direcciones de r).
• Una ecuación implícita:
  a₁x + a₂y + a = 0
  de la cual se puede extraer (a primera vista) la ecuación de la variedad de direcciones: a₁x + a₂y = 0.

II.- Tomemos dos rectas r y s del plano, dadas por las ecuaciones paramétricas

r $$\equiv$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x=a + \lambda v_{1}\\ y=b + \lambda v_{2} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x=a + \lambda v_{1}\\ y=b + \lambda v_{2} \end{array}$$

r' $$\equiv$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x=a' + \mu v'_{1}\\ y=b' + \mu v'_{2} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x=a' + \mu v'_{1}\\ y=b' + \mu v'_{2} \end{array}$$

Son paralelas si y sólo si los vectores v = (v₁, v₂) y v' = (v'₁, v'₂) son linealmente dependientes. Son estrictamente paralelas si y sólo si ocurre eso y además

rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} a-a' & b-b'\\ \hline v_{1} & v_{2}\\ v'_{1} & v'_{2} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} a-a' & b-b'\\ \hline v_{1} & v_{2}\\ v'_{1} & v'_{2} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} a-a' & b-b'\\ \hline v_{1} & v_{2}\\ v'_{1} & v'_{2} \end{array}}\right)$$ = 2

Si no son paralelas, es que se cortan. El punto de corte se encuentra solucionando el sistema (en las variables $\lambda$, $\mu$):

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a+\lambda v_{1}=a'+\mu v'_{1}\\ b+\lambda v_{2}=b'+\mu v'_{2} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} a+\lambda v_{1}=a'+\mu v'_{1}\\ b+\lambda v_{2}=b'+\mu v'_{2} \end{array}$$

que (si no son paralelas) tiene solución única. Una vez resuelto, se sustituye el $\lambda$ encontrado en la ecuación de r y tenemos las coordenadas del punto.

III.- Sean ahora r y s dos rectas cuyas ecuaciones implícitas conocemos:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} r\equiv a + a_{1}x+a_{2}y=0\\ s\equiv b + b_{1}x+b_{2}y=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} r\equiv a + a_{1}x+a_{2}y=0\\ s\equiv b + b_{1}x+b_{2}y=0 \end{array}$$

Son paralelas si y sólo si rg$\left(\vphantom{\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2} \end{array}}\right.$$\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2} \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2}\\ b_{1} & b_{2} \end{array}}\right)$ = 1. Son estrictamente paralelas si, además,

rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} a & a_{1} & a_{2}\\ b & b_{1} & b_{2} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} a & a_{1} & a_{2}\\ b & b_{1} & b_{2} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} a & a_{1} & a_{2}\\ b & b_{1} & b_{2} \end{array}}\right)$$ = 2.

En cualquier otro caso, se cortan en un único punto (x, y), que es la solución del sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas.

IV.- Si tenemos una recta r $\equiv$ a + a₁x + a₂y = 0 dada en ecuaciones implícitas y otra s $\equiv$ (x = p + $\lambda$v₁, y = q + $\lambda$v₂) dada en paramétricas, se tiene que:

a)

Son paralelas si y sólo si a₁v₁ + a₂v₂ = 0.

b)

Si no, se cortan en el punto determinado por el valor $\lambda$ solución de la ecuación

a + a₁(p + $$\lambda$$v₁) + a₂(q + $$\lambda$$v₂) = 0.

V.- Haces de rectas. Dadas dos rectas en implícitas, r $\equiv$ a + a₁x + a₂y = 0 y s $\equiv$ b + b₁x + b₂y = 0, definimos el haz de rectas generado por r y s como el conjunto de las rectas r_{$\lambda$,$\mu$} con ecuaciones

r_{$\lambda$,$\mu$} $$\equiv$$ $$\lambda$$(a + a₁x + a₂y) + $$\mu$$(b + b₁x + b₂y) = 0.

• Si las rectas r y s se cortan en un punto P, entonces el haz de rectas generado por r y s es exactamente el conjunto de las rectas que pasan por P.
• Si, por el contrario, las rectas son paralelas, entonces una recta está en el haz si y sólo si es paralela a r (y, por tanto, a s), con lo que la ecuación de una recta cualquiera del haz es:
  $$\lambda$$ + a₁x + a₂y = 0.