El espacio afín tridimensional

Se llama espacio afín tridimensional sobre un cuerpo K al espacio afín K³, con el espacio vectorial subyacente K³ y la operación de ``suma de las coordenadas de un vector a las de un punto''. Fijemos, como siempre, una referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁, e₂, e₃)). Las coordenadas de un punto genérico en esta referencia serán (x, y, z). Los subespacios afines son, como todo el mundo sabe, el vacío, las rectas, los planos (dimensión 2) y el total. Los hiperplanos son los planos. Por tanto, vienen determinados por una sóla ecuación afín.

I.- Sean $\Pi_{{1}}^{}$ y $\Pi_{{2}}^{}$ dos planos de ecuaciones respectivas $\Pi_{{1}}^{}$ $\equiv$ a + a₁x + a₂y + a₃z = 0 y $\Pi_{{2}}^{}$ $\equiv$ b + b₁x + b₂y + b₃z = 0. Para estudiar la relación entre ambos, ya vimos que hay que considerar las matrices

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}}\right)$$,  $$\overline{{M}}$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b & b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b & b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b & b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}}\right)$$.

Se pueden presentar, por tanto, tres casos

1. rg(M) = 2 (en cuyo caso coincide con rg($\overline{{M}}$). Los planos son distintos y no son paralelos. Por tanto, se cortan en la recta cuyas ecuaciones implícitas son
   r = $$\Pi_{{1}}^{}$$ $$\cap$$ $$\Pi_{{2}}^{}$$ = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=0\\ b+b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} a+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=0\\ b+b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z=0 \end{array}$$
   Cualquier plano que contenga a esta recta tiene por ecuación una combinación lineal de las dos ecuaciones de r. Se define el haz de planos de arista r como el conjunto de planos que contiene a r. Sus elementos son los planos de la forma $\Pi_{{\lambda ,\mu }}^{}$ donde
   $$\Pi_{{\lambda ,\mu }}^{}$$ $$\equiv$$ ($$\lambda$$a + $$\mu$$b) + ($$\lambda$$a₁ + $$\mu$$b₁)x + ($$\lambda$$a₂ + $$\mu$$b₂)y + ($$\lambda$$a₃ + $$\mu$$b₃)z = 0
   (se supone que $\lambda$ y $\mu$ no son ambos 0, evidentemente).
2. rg(M) = 1, rg($\overline{{M}}$) = 2. Los planos son paralelos y no se cortan, pues tienen la misma variedad de direcciones (eso es que rg(M) = 1) y no tienen puntos comunes. El haz de planos paralelos a $\Pi_{{1}}^{}$ (y, por tanto, a $\Pi_{{2}}^{}$) es el conjunto de planos $\Pi_{{\lambda }}^{}$ de la forma
   $$\Pi_{{\lambda }}^{}$$ $$\equiv$$ $$\lambda$$ + a₁x + a₂y + a₃z = 0.
   (donde, como siempre, se supone $\lambda$ $\neq$ 0).
3. rg(M) = rg($\overline{{M}}$) = 1. En este caso, los dos planos son iguales. El haz de planos paralelos a ambos tiene la misma forma que en el caso anterior (claro).

II.- Tomemos dos rectas r, s cuyas ecuaciones paramétricas son

r $$\equiv$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x=a_{1}+\lambda v_{1}\\ y=a_{2}+\lambda v_{2}\\ z=a_{3}+\lambda v_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x=a_{1}+\lambda v_{1}\\ y=a_{2}+\lambda v_{2}\\ z=a_{3}+\lambda v_{3} \end{array}$$   s $$\equiv$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x=b_{1}+\mu w_{1}\\ y=b_{2}+\mu w_{2}\\ z=b_{3}+\mu w_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x=b_{1}+\mu w_{1}\\ y=b_{2}+\mu w_{2}\\ z=b_{3}+\mu w_{3} \end{array}$$

y llamemos $\bf A$ = (a₁, a₂, a₃), $\bf B$ = (b₁, b₂, b₃), v = (v₁, v₂, v₃) y w = (w₁, w₂, w₃). Hay dos posibilidades

• Los vectores $\bf AB$, v y w son linealmente independientes. En este caso, es claro que r + s = $\mathbb {A}$ (todo el espacio) y de aquí concluimos que no se cortan y que, de hecho, se cruzan (utilizando la fórmula de las dimensiones). Es evidente que si se cruzan, esos tres vectores han de ser independientes. Por tanto, r y s se cruzan si y sólo si
  $$\left\vert\vphantom{ \begin{array}{ccc} b_{1}-a_{1} & b_{2}-a_{2}... ...{3}-a_{3}\\ v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} b_{1}-a_{1} & b_{2}-a_{2} & b_{3}-a_{3}\\ v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} b_{1}-a_{1} & b_{2}-a_{2} & b... ...a_{3}\\ v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}}\right\vert$$ $$\neq$$ 0.

• Si los vectores $\bf AB$, v y w son linealmente dependientes, entonces el subespacio afín generado por r y s tiene dimensión 2 como mucho. Ahora bien, puede ocurrir que v y w sean linealmente independientes, en cuyo caso las rectas se cortan en un punto o que sean dependientes, y por tanto, r y s son paralelas. Si son paralelas, entonces son estrictamente paralelas si $\bf AB$ es independiente de los otros dos. Es decir, suponiendo que el determinante de arriba es cero, entonces
  r ys se cortan si y sólo si rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}}\right)$$ = 2
  r ys son paralelas si y sólo si rg$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}}\right)$$ = 1

III.- Sean ahora r y s dos rectas cuyas ecuaciones implícitas conocemos:

r $$\equiv$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a=0\\ b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a=0\\ b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b=0 \end{array}$$

s $$\equiv$$ $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c=0\\ d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c=0\\ d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d=0 \end{array}$$

y llamemos E al sistema formado por las cuatro ecuaciones que definen r y s. Pongamos ahora

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1... ...} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ d_{1} & d_{2} & d_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ d_{1} & d_{2} & d_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1... ...} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ d_{1} & d_{2} & d_{3} \end{array}}\right)$$,   N = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & a_{2} & a_... ...}\\ c & c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ d & d_{1} & d_{2} & d_{3} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b & b_{1} ... ...} & b_{3}\\ c & c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ d & d_{1} & d_{2} & d_{3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} a & a_{1} & a_{2} & a_... ...}\\ c & c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ d & d_{1} & d_{2} & d_{3} \end{array}}\right)$$.

Tenemos las siguientes posibilidades

1. rg(N) = 4. Por tanto, rg(M) = 3 y las rectas se cruzan, pues tienen intersección vacía y las variedades de dirección no son iguales.
2. rg(N) = 3 y rg(M) = 3. En este caso el sistema E es compatible determinado y, por tanto, las rectas se cortan en un sólo punto.
3. rg(N) = 3 y rg(M) = 2. El sistema es incompatible. Por tanto, las rectas no se cortan. Como las variedades de dirección tienen un vector común (y, al ser de dimensión 1, son iguales), entonces r y s son estrictamente paralelas.
4. rg(N) = 2 y rg(M) = 2. Las dos rectas son iguales.

Es decir, mediante el famoso teorema de Rouché (o con la fórmula de las dimensiones), podemos estudiar las posiciones relativas de cualesquiera subespacios del espacio afín.

IV.- Dejamos la posición relativa de recta y plano como ejercicio elemental de C.O.U.