Dependencia afín de puntos, bases afines.

Sean $\bf A_{1}$,...,$\bf A_{r}$,$\bf A$ r + 1 puntos distintos de un espacio afín $\mathbb {A}$. El punto $\bf A$ depende afínmente de los r restantes si y sólo si se verifican las siguientes condiciones equivalentes (es decir, si se verifica una, se verifican todas):

i)

Existe un punto $\bf O$ tal que $\bf OA$ = $\sum_{{i=1}}^{{r}}$$\lambda_{{i}}^{}$$\bf OA_{i}$ y además $\sum_{{i=1}}^{{r}}$$\lambda_{{i}}^{}$ = 1.

ii)

Para cualquier punto $\bf P$, se tiene que $\bf PA$ = $\sum_{{i=1}}^{{r}}$$\lambda_{{i}}^{}$$\bf PA_{i}$ y además $\sum_{{i=1}}^{{r}}$$\lambda_{{i}}^{}$ = 1.

iii)

El vector $\bf A_{1}A$ depende linealmente de $\bf A_{2}A$,...,$\bf A_{r}A$.

iv)

Los vectores $\bf A_{1}A$,...,$\bf A_{r}A$ son linealmente dependientes

v)

$\bf A$ está en cualquier subespacio afín de $\mathbb {A}$ que contenga a los $\bf A_{1}$,...,$\bf A_{r}$.

Diremos que los r puntos $\bf A_{1}$,...,$\bf A_{r}$ son afínmente independientes si ninguno de ellos depende afínmente de los demás.

Definición 2.4.5   Se dice que n + 1 puntos $\bf A_{0}$,$\bf A_{1}$,...,$\bf A_{n}$ (en un espacio afín de dimensión n) son una base afín si son afínmente independientes. En este caso, es claro que la familia $\mathcal {R}$ = ($\bf A_{0}$,($\bf A_{0}A_{1}$,...,$\bf A_{0}A_{n}$)) es una referencia afín.

Se llaman coordenadas baricéntricas de un punto $\bf B$ $\in$ $\mathbb {A}$ respecto de una base afín $\bf A_{0}$,$\bf A_{1}$,...,$\bf A_{n}$ a las coordenadas de $\bf B$ en la referencia asociada a la base afín (que es la de la definición).

Nota 2.4.6   Si ($\lambda_{{{1}}}^{{}}$,...,$\lambda_{{{n}}}^{{}}$) son las coordenadas baricéntricas de $\bf B$ en una base afín ($\bf A_{0}$,...,$\bf A_{n}$), entonces $\bf B$ es el baricentro de los puntos ($\bf A_{0}$,$\bf A_{1}$,...,$\bf A_{n}$) con pesos (ojo) (1 - $\sum_{{i}}^{}$$\lambda_{{i}}^{}$,$\lambda_{{1}}^{}$,$\lambda_{{2}}^{}$,...,$\lambda_{{n}}^{}$).

Hasta aquí el espacio afín puro y duro. Luego empezaremos con métricas en espacios vectoriales, etc...