Conceptos básicos

Fijamos primero la notación: V es un espacio vectorial de dimensión finita y K es el cuerpo base, que siempre supondremos es $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$.

Definición 1.1.1   Una forma bilineal es una aplicación

f : V×V $$\rightarrow$$ K

que es lineal en las dos componentes. Es decir, que si fijamos v $\in$ V, se cumplen

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} f(v,\lambda u+\mu u')=\lambda ... ...f(v,u')\\ f(\lambda u+\mu u',v)=\lambda f(u,v)+\mu f(u',v) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} f(v,\lambda u+\mu u')=\lambda f(v,u)+\mu f(v,u')\\ f(\lambda u+\mu u',v)=\lambda f(u,v)+\mu f(u',v) \end{array}$$

pero: muy importante, no tienen por qué ser iguales!!!. En concreto, se dice que

Definición 1.1.2   La forma bilineal f es simétrica si para cualesquiera u, v $\in$ V, es f (u, v) = f (v, u).

La forma bilineal f es hemisimétrica o alternada si f (u, v) = - f (v, u).

Por otro lado, puede ocurrir que f (v, ^. ) = 0 (por ejemplo, para el vector 0 ocurre esto). En concreto: si f cumple las dos condiciones siguientes:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} f(u,v)=0 \,\forall v\in V \Rightarrow v=0\\ [1ex] f(u,v)=0 \,\forall u\in V \Rightarrow u=0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} f(u,v)=0 \,\forall v\in V \Rightarrow v=0\\ [1ex] f(u,v)=0 \,\forall u\in V \Rightarrow u=0 \end{array}$$

entonces se dice que f es no degenerada.

Seguimos con las definiciones:

Definición 1.1.3   La forma bilineal f es definida si $\forall$v $\in$ V no cero se tiene que f (v, v) $\neq$ 0.

PROPOSICIÓN 1.1.4   Si una forma bilineal f es definida, entonces es no degenerada.

Demostración. Supongamos que es degenerada. Entonces hay un u $\in$ V tal que f (u, v) = 0 para todo v o (por el otro lado), hay un v $\in$ V tal que f (u, v) = 0 para todo u. En el primer caso -y en el segundo lo mismo-, se tendría que f (u, u) = 0 y f no podría ser definida. $\qedsymbol$

Nota: En espacios vectoriales reales, ninguna forma hemisimétrica es definida, pues f (u, u) = - f (u, u) y como puedo dividir por 2, tiene que ser f (u, u) = 0 para cualquier u.

Definición 1.1.5   Una forma bilineal definida es definida positiva si f (u, u) > 0 para todo u $\in$ V. De la mima manera, una forma bilineal definida es definida negativa si f (u, u) < 0 para todo u $\in$ V.

Ejemplo 1.1.6   La forma f (u, v) = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ es definida positiva en $\mathbb {R}$³, (es la que mide distancias euclídeas), pero no lo es en $\mathbb {C}$³: ejemplo, F((1, i, 0),(1, i, 0)) = 0. Es decir, no es definida si trabajamos en el cuerpo complejo. Pero en ambos casos, es no degenerada.

Ejemplo 1.1.7   Vamos a repasar unos cuantos ejemplos de formas bilineales. Tenemos el principal, que es el ``producto escalar'' de dos vectores. En $\mathbb {R}$³, es una forma no degenerada definida positiva. Si consideramos la misma forma sobre $\mathbb {C}$³, no es definida, pero no es degenerada.

Otro ejemplo: en $\mathbb {R}$², la forma f ((u₁, u₂),(v₁, v₂)) = u₁v₁ - u₂v₂ es hemisimétrica (por tanto no es definida) y es no degenerada.

Otro: Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas en [0, 1]. Se da:

V×V	$$\rightarrow$$	$$\mathbb {R}$$
(f, g)	$$\mapsto$$	$$\int_{{0}}^{{1}}$$f (t)g(t)dt,

es una forma bilineal simétrica definida positiva (es muy importante que sean continuas, pues si no, no es definida).

Ejemplo 1.1.8   MUY IMPORTANTE: Tomemos la aplicación

$$\mathbb {C}$$3×$$\mathbb {C}$$3	$$\rightarrow$$	$$\mathbb {C}$$
((u1, u2, u3),(v1, v2, v3)	$$\mapsto$$	u1$$\overline{{v_{1}}}$$ + u2$$\overline{{v_{2}}}$$ + u3$$\overline{{v_{3}}}$$.

Esto no es una forma bilineal (en la segunda componente manda la conjugación). Pero es lo que se conoce como forma hermítica. Son las que se utilizan en la mecánica cuántica (son, de hecho, los observables). Su definición -que hay que conocer- es:

Definición 1.1.9   Una aplicación sesquilineal es la lineal en la primera y tal que f ($\alpha$u,$\beta$v) = $\alpha$$\overline{{\beta }}$f (u, v). Evidentemente, esta definición sólo tiene sentido sobre los números complejos.

Una aplicación del producto V×V de un $\mathbb {C}$ -espacio vectorial en $\mathbb {C}$ es una forma hermítica si es una forma lineal en la primera componente y además, f (u, v) = $\overline{{f(v,u)}}$. De la definición se deduce que

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} f(u,\lambda v_{1}+\mu v_{2})=\... ..._{2})\\ f(\alpha u,\beta v)=\alpha \overline{\beta }f(u,v) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} f(u,\lambda v_{1}+\mu v_{2})=\overline{\lambda }... ...u }f(u,v_{2})\\ f(\alpha u,\beta v)=\alpha \overline{\beta }f(u,v) \end{array}$$

Son muy importantes y se comportan aproximadamente como las bilineales simétricas. Las veremos casi al compás.