Definición de forma cuadrática

Es curioso que casi todas las formas bilineales que he escrito se puedan ``representar'' como (sumas de) productos de grado dos de las coordenadas. En realidad no es tan curioso: al fin y al cabo, vamos a ver ahora que es -casi- lo mismo dar un polinomio homogéneo de grado dos y una forma bilineal.

Definición 1.1.10   Una forma cuadrática sobre un espacio vectorial es una aplicación

Q : V	$$\rightarrow$$	K
u	$$\mapsto$$	Q(u)

tal que Q($\alpha$u) = $\alpha^{{2}}_{}$Q(v) y que además, la aplicación

FQ : V×V	$$\rightarrow$$	K
(u, v)	$$\mapsto$$	FQ(u, v) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$(Q(u + v) - Q(u) - Q(v))

es una forma bilineal (que, evidentemente, es simétrica).

HASTA AQUÍ LA CLASE 1 (990210)

LEMA 1.1.11   Dada un forma bilineal f : V×V $\rightarrow$ K, la apliación

Qf : V	$$\rightarrow$$	K
u	$$\mapsto$$	Qf(u) = f (u, u)

es una forma cuadrática.

Demostración. La demostración tiene dos partes: ver que Q_f($\alpha$u) = $\alpha^{{2}}_{}$Q_f(u) (que es obvio) y ver que F_Qf es una forma bilinieal (para lo que hay que ``echar una cuenta elemental''). $\qedsymbol$

En particular, si f es simétrica y Q es la forma cuadrática asociada, siempre se tiene que f = f_Q. De modo que da lo mismo considerar formas bilineales simétricas y formas cuadráticas.

Para terminar el capítulo de definiciones preliminares, etc... noto que, si f es bilineal, la forma

f_h(u, v) = (f (u, v) - f (v, u))

es bilineal hemisimétrica. Y que

f - f_h

es bilineal simétrica. Es decir, toda forma bilineal es suma de una simétrica y una hemisimétrica. Esto supongo que lo sabríais porque toda matriz cuadrada es suma de una simétrica y una hemisimétrica.

Definición 1.1.12   Dada una forma bilineal f : V×V $\rightarrow$ K, podemos definir

a)

El núcleo por la izquierda de f es N_I(f )= {u $\in$ V : f (u, v) = 0 $\forall$v $\in$ V}

b)

El núcleo por la derecha de f es N_D(f )= {v $\in$ V : f (u, v) = 0 $\forall$u $\in$ V}

Está claro que si f es simétrica o hemisimétrica, los núcleos por la derecha y por la izquierda coinciden y se llaman, sin más, ker(f ). También está claro que f es no degenerada si y sólo si ambos núcleos son iguales al conjunto {0}.

Restricción de una forma bilineal a un subespacio. Dada una forma bilineal f sobre un espacio vectorial V, si W es un subespacio de V, es evidente que se tiene una aplicación

f$$\vert_{{W}}^{}$$ : W×W	$$\rightarrow$$	K
(u, v)	$$\mapsto$$	f (u, v)

cuyo nombre es -de modo muy original- restricción de f a W. Si f es simétrica o hemisimétrica y W = ker(f ), entonces, f$\vert_{{W}}^{}$ = 0. Si, por el contrario, W es complementario de ker(f ), entonces f$\vert_{{W}}^{}$ es no degenerada (evidentemente). Más ``difícil'' (o más interesante) es demostrar que, dada una forma f bilineal cuyos núcleos por la izquierda y por la derecha son iguales y dado un subespacio complementario de ambos, W, el conocimento de f$\vert_{{W}}^{}$ determina el de f. Esto se hace de manera directa:

u = u₁ + u₂, v = v₁ + v₂,  conu_i $$\in$$ ker(f ), v_i $$\in$$ W

queremos calcular f (u, v) y es:

$$\begin{multline} f(u,v)=f(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})=f(u_{1},v_{1}+v_{2})+f\\ (u_{2},v_{1}+v_{2})=f(u_{2},v_{1}+v_{2})=...=f(u_{2},v_{2}). \end{multline}$$