Afinidades. El grupo afín

Dado un espacio vectorial V y dos endomorfismos f, g, se puede construir la composición gof, que es un endomorfismo. Pero no todo endomorfismo tiene inverso: por ejemplo, el que envía todos los vectores en el vector nulo es un endomorfismo sin inverso. Por tanto, el conjunto de endomorfismos no es un grupo con la operación de composición. Sin embargo, si consideramos los automorfismos de un espacio vectorial, tenemos inverso y porpiedad asociativa (y, evidentemente, neutro, que es la identidad). Así que los endomorfismos biyectivos (automorfismos) sí que forman un grupo con la operación de composición. En un espacio afín ocurre algo parecido. Vamos a estudiar sólo transformaciones del espacio que son biyectivas. Fijamos de ahora hasta el fin del capítulo un espacio afín ($\mathbb {A}$, V, +) de dimensión n.

Definición 3.1.2   Una afinidad de $\mathbb {A}$ es un par (f,$\varphi$) formado por una aplicación biyectiva f : $\mathbb {A}$ $\rightarrow$ $\mathbb {A}$ y un automorfismo $\varphi$ : V $\rightarrow$ V tal que

$$\varphi$$($$\bf PQ$$) = f ($$\bf P$$)f ($$\bf Q$$), para todos $$\bf P$$,$$\bf Q$$ $$\in$$ $$\mathbb {A}$$.

Es decir, que el automorfismo $\varphi$ ``describe'' cómo se transforman los vectores construidos tomando dos puntos del espacio.

Nota 3.1.3   El conjunto de afinidades de $\mathbb {A}$ es, claramente, un grupo para la operación de composición: (f,$\varphi$)o(g,$\psi$) = (fog,$\varphi$o$\psi$). La propiedad asociativa se comprueba de manera inmediata, por verificarse para la composición de aplicaciones. El elemento neutro es el par (Id, Id ) formado por las aplicaciones ``identidad en $\mathbb {A}$, identidad en V'' y el inverso de una afinidad (f,$\varphi$) es, claramente (f^-1,$\varphi^{{-1}}_{}$). Todas estas propiedades se comprueban como ejercicio elemental.

Llamamos, por tanto, grupo afín de $\mathbb {A}$ y lo denotamos G($\mathbb {A}$) al grupo de las afinidades de $\mathbb {A}$.

PROPOSICIÓN 3.1.4   Sea $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)) una referencia en $\mathbb {A}$.

• Cualquier afinidad (f,$\varphi$) transforma $\mathcal {R}$ en otra referencia. Es decir, la familia $\mathcal {R}$^$\prime$ = (f ($\bf O$),($\varphi$(e₁),...,$\varphi$(e_n))) es una referencia.
• Dada una referencia $\mathcal {R}$^{$\prime$$\prime$} = ($\bf O{^\prime}{^\prime}$,(e''₁,..., e''_n)), existe una única afinidad (f,$\varphi$) que transforma $\mathcal {R}$ en $\mathcal {R}$^{$\prime$$\prime$}.

Demostración. Ambos resultados son consecuencia de los enunciados análogos para espacios vectoriales. Probemos el primero: puesto que (f,$\varphi$) es una afinidad, la familia ($\varphi$(e₁),...,$\varphi$(e_n)) es una base de V, porque $\varphi$ es un automorfismo de V. Como f envía puntos en puntos, $\bf O{^\prime}$ es un punto y terminamos ( $\mathcal {R}$^$\prime$ es una referencia).

El segundo enunciado: sabemos, por el resultado análogo para e.v., que existe un único automorfismo $\varphi$ : V $\rightarrow$ V que lleva (e₁,..., e_n) en (e''₁,..., e''_n). Para construir f definimos f ($\bf O$) = $\bf O{^\prime}{^\prime}$ y, dado P $\in$ $\mathbb {A}$, para que sea una afinidad, debe ser f ($\bf P$) = $\bf O{^\prime}{^\prime}$ + $\varphi$($\bf OP$). Comprobemos que esto define una afinidad única. Que es una apliación es por definición (la imagen de un punto es un punto). Que es biyectiva: supongamos f ($\bf P$) = f ($\bf Q$). Esto significa que $\varphi$($\bf OP$) = $\varphi$($\bf OQ$). Pero como $\varphi$ es un automorfismo, debe ser $\bf OP$ = $\bf OQ$ y, por tanto, $\bf P$ = $\bf Q$ (pues $\bf P$ = $\bf O$ + $\bf OP$ y lo mismo $\bf Q$). La unicidad es clara (la única manera que tenemos de definir f para que cumpla las condiciones de afinidad es como lo hemos hecho). Que realmente es afinidad es una comprobación: sean $\bf P$ y $\bf Q$ dos puntos de $\mathbb {A}$. Por construcción, f ($\bf P$) = $\bf O{^\prime}{^\prime}$ + $\varphi$($\bf OP$) y f ($\bf Q$) = $\bf O{^\prime}{^\prime}$ + $\varphi$($\bf OQ$). Por tanto,

$$\bf P \bf Q \bf O{^\prime}{^\prime} \varphi \bf OP \bf O{^\prime}{^\prime} \varphi \bf OQ \varphi \bf OQ \varphi \bf OP$$

$$\varphi \bf PQ$$

que es la propiedad necesaria. $\qedsymbol$

Por tanto,

COROLARIO 3.1.5   Se tienen los siguientes resultados:

• Una afinidad queda totalemente determinada por la imagen de una referencia (que es otra referencia).
• Una afinidad transforma puntos afínmente dependientes en puntos afínmente dependientes y puntos afínmente independientes en puntos afínmente independientes.
• Dadas dos bases afines {$\bf A_{0}$,...,$\bf A_{n}$} y {$\bf B_{0}$,...,$\bf B_{n}$}, existe una única afinidad (f,$\varphi$) tal que f ($\bf A_{i}$) = $\bf B_{i}$.
• Si S($\bf P$, E) es un subespacio afín de $\mathbb {A}$, entonces su imagen es el subespacio de $\mathbb {A}$ que pasa por f ($\bf P$) y tiene variedad de direcciones $\varphi$(E), es decir
  f (S($$\bf P$$, E)) = S(f ($$\bf P$$),$$\varphi$$(E)).

• Una afinidad envía subespacios de dimensión k en subespacios de dimensión k y conserva las relaciones de inclusión.