Matriz de una afinidad respecto de una referencia

Los resultados anteriores nos permiten hacer una equivalencia entre las afinidades y las matrices de determinado tipo, como ocurre para los automorfismos y las matrices cuyo determinante es no nulo (las inversibles). Como siempre, esta equivalencia requiere que fijemos de antemano una referencia en el espacio afín en cuestión. Entrando en materia, fijemos una referenecia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)) en $\mathbb {A}$.

Sea (f,$\varphi$) una afinidad de ($\mathbb {A}$, V). En la referencia $\mathcal {R}$, se escribirá:

f ($$\bf O$$) = (o₁,..., o_n)

y

f (e_i) = $$\lambda_{{i1}}^{}$$e₁ + ... + $$\lambda_{{in}}^{}$$e_n  parai = 1...n.

Dado un punto $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$, de coordenadas (p₁,..., p_n), su imagen f ($\bf P$) = (x₁,..., x_n) se escribe

x_i = o_i + p₁$$\lambda_{{1i}}^{}$$ + ... + p_n$$\lambda_{{ni}}^{}$$,

que, en forma matricial se pone

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ... & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0\\ \hline o_{1}... ...& \ddots & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ... & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}}\right)$$,

lo que nos permite dar la definición siguiente:

Definición 3.1.6   La matriz de la afinidad (f,$\varphi$) en la referencia $\mathcal {R}$ es la matriz

M(f,$$\mathcal {R}$$) = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ... & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0\\ \hline o_{1}... ...& \ddots & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ... & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}}\right)$$

que es una matriz (n + 1)×(n + 1) y en la que det($\lambda_{{ij}}^{}$) $\neq$ 0.

De hecho, se tiene el recíproco:

LEMA 3.1.7   Sea M una matriz (n + 1)×(n + 1) de la forma de la definición anterior (es decir, cuya primera fila es ($\bf 1$ | 0 ... 0) y t. q. el adjunto del elemento (1, 1) es no nulo). Existe una única afinidad (f,$\varphi$) de ($\mathbb {A}$, V) cuya matriz asociada en la referencia $\mathcal {R}$ es precisamente M.

Demostración. Llamemos M' = (m'_ij) a la matriz n×n inferior derecha de M. La aplicación (en la referencia $\mathcal {R}$) dada por las ecuaciones

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} f({\bf O})=({o}_{1},\dots,{o}_... ...s\\ \varphi (e_{1})=m'_{n1}e_{1}+\dots +m'_{nn} e_{n}\\ \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} f({\bf O})=({o}_{1},\dots,{o}_{n})\\ \varphi (... ... \vdots\\ \varphi (e_{1})=m'_{n1}e_{1}+\dots +m'_{nn} e_{n}\\ \end{array}$$

define de modo unívoco, por el corolario 1.5, una afinidad (que, por construcción, tiene por matriz asociada a M). $\qedsymbol$