El grupo G($\mathbb {A}$) como grupo de matrices

Como se ha dicho, el conjunto de las afinidades de $\mathbb {A}$, que hemos llamado G($\mathbb {A}$) forma un grupo cuya operación es la composición de aplicaciones. Fijada una referencia, hemos asignado a cada elemento de G($\mathbb {A}$) una matriz de determinado tipo y viceversa: cada matriz de dicho tipo induce de manera unívoca una afinidad. Es decir, hemos demostrado el siguiente

TEOREMA 3.1.8   Fijada una referencia $\mathcal {R}$, existe una biyección entre el grupo de las afinidades de $\mathbb {A}$ y el conjunto de las matrices (n + 1)×(n + 1) cuya primera fila es el vector (1, 0,..., 0) y para las que la matriz ``inferior derecha'' de tamaño n×n es inversible.

En realidad, el resultado es más fuerte y pasa por la siguiente proposición cuya demostración obviamos:

PROPOSICIÓN 3.1.9   El conjunto de las matrices (n + 1)×(n + 1) cuya primera fila es (1, 0,..., 0) y tales que la matriz n×n ``inferior derecha'' es inversible, forma un grupo cuya operación es la multiplicación de matrices. Este grupo se denomina ``grupo afín de dimensión n sobre K'' (donde K es el cuerpo base) y se denota GA_n(K).

Demostración. Aunque no demostremos el resultado entero, conviene conocer el elemento neutro y los inversos. Es elemental comprobar que el elemento neutro es la matriz identidad:

e = Id = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ...\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0\\ \hline 0 & 1... ...ots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ...\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}}\right)$$.

Más complicado -aunque no lo vamos a hacer- es comprobar que toda matriz de GA_n(K) tiene inverso en GA_n(K). Dada M $\in$ GA_n(K), si escribimos

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{c... ...begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}& M' \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{ccc} 0 & \dots & 0... ...\hline \begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}& M' \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{c... ...begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}& M' \end{array}}\right)$$,

entonces M' es inversible y el inverso de M es

M^-1 = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{c... ...rray}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}& (M')^{-1} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{ccc} 0 & \dots & 0... ...\begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}& (M')^{-1} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{c... ...rray}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}& (M')^{-1} \end{array}}\right)$$

donde

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}}\right)$$ = - (M')^-1$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right)$$

$\qedsymbol$

Y el teorema, en su versión definitiva, se enuncia

TEOREMA 3.1.10   Fijada una referencia $\mathcal {R}$, existe un isomorfismo de grupos entre G($\mathbb {A}$) y GA_n(K).

Antes de estudiar el comportamiento de este isomorfismo por cambios de referen-cia, vamos a definir dos tipos de afinidades ``especiales'', que dan -en cierto modo- una explicación a la aparición de las ``líneas negras'' en las matrices.

Definición 3.1.11   La traslación en $\mathbb {A}$ de vector v $\in$ V es la afinidad de $\mathbb {A}$ dada por la siguiente aplicación:

f ($$\bf P$$) = $$\bf P$$ + v  para todo $$\bf P$$ $$\in$$ $$\mathbb {A}$$.

Es trivial comprobar que una afinidad (f,$\varphi$) es una traslación si y sólo si su matriz asociada en la referencia $\mathcal {R}$ es de la forma

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ...\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n} & 0 & \dots & 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0\\ \hline v_{1}... ...& 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n} & 0 & \dots & 1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ...\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n} & 0 & \dots & 1 \end{array}}\right)$$

donde (v₁,..., v_n) son las coordenadas de v en la base de la referencia $\mathcal {R}$. Está claro que el inverso de la traslación de vector v es la traslación de vector - v.

Definición 3.1.12   Dado un punto $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$, se dice que una afinidad (f,$\varphi$) deja fijo $\bf P$ si f ($\bf P$) = $\bf P$. Se denota G_{$\bf P$}($\mathbb {A}$) al conjunto de afinidades de $\mathbb {A}$ que dejan el punto $\bf P$ fijo.

Si $\bf P$ es el origen de la referencia $\mathcal {R}$, entonces una afinidad (f,$\varphi$) deja fijo $\bf P$ si y sólo si su matriz asociada en $\mathcal {R}$ es de la forma

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ... & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0\\ \hline 0 & \... ...ts & \ddots & \vdots\\ 0 & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1}& 0 & \dots & 0... ... & \vdots\\ o_{n} & \lambda _{1n} & \dots & \lambda _{nn} \end{array}}\right)$$

donde, como siempre, det($\lambda_{{ij}}^{}$) $\neq$ 0.

Sea $\bf P$ un punto cualquiera de $\mathbb {A}$. El siguiente teorema da una somera idea de la estructura del grupo de afinidades:

TEOREMA 3.1.13   Cualquier afinidad es composición de una traslación y una afinidad que deja fijo el punto $\bf P$.

Demostración. Sea (f,$\varphi$) una afinidad. Tomemos el vector v = f ($\bf P$)$\bf P$ que une f ($\bf P$) con $\bf P$ y sea T_v la traslación de vector v. Se tiene que

T_v(f ($$\bf P$$)) = f ($$\bf P$$) + v = f ($$\bf P$$) + f ($$\bf P$$)$$\bf P$$ = $$\bf P$$,

es decir, que la afinidad T_vof deja fijo $\bf P$. Por tanto, si g = T_vof, se tiene (evidentemente) que

f = T_-vog

donde T_-v es la traslación de vector - v. Esto es precisamente lo que queríamos probar. $\qedsymbol$