Continuamos con las afinidades en general

PROPOSICIÓN 3.1.15   Si (f,$\varphi$) es una afinidad, entonces la imagen del baricentro de k puntos es el baricentro de las k imágenes con los mismos pesos. Es más, si f : $\mathbb {A}$ $\rightarrow$ $\mathbb {A}$ es una biyección que conserva los baricentros, entonces es automáticamente una afinidad (i. e. existe un isomorfismo $\varphi$ de V tal que (f,$\varphi$) es una afinidad).

Demostración. Sólo vamos a demostrar la primera parte. Supongamos que $\bf B$ es el baricentro de {$\bf A_{1}$,...,$\bf A_{k}$} con pesos {a₁,..., a_k}. Entonces (por definición):

$$\sum$$(a_i$$\bf BA_{i}$$) = 0.

Por tanto, $\sum$a_i$\varphi$($\bf BA_{i}$) = 0, pero, por ser (f,$\varphi$) una afinidad, $\varphi$($\bf BA_{i}$) = f ($\bf B$)f ($\bf A_{i}$) y por tanto,

$$\sum$$a_if ($$\bf B$$)f ($$\bf A_{i}$$) = 0,

que significa precisamente que f ($\bf B$) es el baricentro de {f ($\bf A_{1}$),..., f ($\bf A_{k}$)} con pesos (a₁,..., a_k). $\qedsymbol$

Para estudiar con detalle las afinidades, vamos a utilizar la siguiente

PROPOSICIÓN 3.1.16   Sea S = {$\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$ : f ($\bf P$) = P} el conjunto de puntos fijos de una afinidad (ojo: que puede ser vacío). S es un subespacio afín de $\mathbb {A}$.

Demostración. Si no hay puntos fijos, S es vacío y es, por tanto, un subespacio afín. Supongamos que no es vacío. Hay que comprobar que existen un punto $\bf Q$ $\in$ $\mathbb {A}$ y un subespacio vectorial E $\subset$ V tales que S = S($\bf Q$, E). Tomemos un punto $\bf Q$ cualquiera de S (que existe porque S no es vacío). Basta ver que la familia de vectores E = {$\bf QQ'$ : $\bf Q'$ $\in$ S} es un subespacio vectorial de V. Sean, pues, dos vectores v = $\bf QQ_{1}$, w = $\bf QQ_{2}$ de dicha familia y sean $\lambda$,$\mu$ $\in$ K. Como $\bf Q$,$\bf Q_{1}$ y $\bf Q_{2}$ son puntos fijos, necesariamente $\varphi$(v) = v y $\varphi$(w) = w. Por tanto, $\varphi$($\lambda$v + $\mu$w) = $\lambda$$\varphi$(v) + $\mu$$\varphi$(w) = $\lambda$v + $\mu$w. Esto implica que f ($\bf Q$ + $\lambda$v + $\mu$w) = f ($\bf Q$) + $\lambda$v + $\mu$w = $\bf Q$ + $\lambda$v + $\mu$w. Por tanto, el punto $\bf Q$ + $\lambda$v + $\mu$w es fijo, para cualesquiera $\lambda$,$\mu$ $\in$ K y por ello $\lambda$v + $\mu$w $\in$ E. Así pues, E es un subespacio vectorial de V, como queríamos comprobar. $\qedsymbol$

Se llama eje de la afinidad (f,$\varphi$) al conjunto de puntos fijos de (f,$\varphi$). Lo denotaremos E_f.