Las afinidades cuyo cuadrado es la identidad (simetrías oblicuas)

. Vamos a hacer un estudio más o menos detallado de las afinidades (f,$\varphi$) tales que f² = Id (que se llaman involutivas).

LEMA 3.1.17   Sea (f,$\varphi$) una afinidad de $\mathbb {A}$ tal que f² = Id. Para todo $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$, el punto^3.1

$${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\bf P$$ + $${\frac{{1}}{{2}}}$$f ($$\bf P$$)

es fijo (es decir, está en E_f). Por tanto, E_f no es vacío, en este caso.

Demostración. Es una mera comprobación. Como f es una afinidad, conserva baricentros, así que

f ($${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\bf P$$ + $${\frac{{1}}{{2}}}$$f ($$\bf P$$)) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$f ($$\bf P$$) + $${\frac{{1}}{{2}}}$$f (f ($$\bf P$$))$$\;\stackrel{{f^{2}=Id}}{{=}}\;$$$${\frac{{1}}{{2}}}$$f ($$\bf P$$) + $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\bf P$$

que es lo que queríamos ver. Como esto ocurre para todo $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$, necesariamente E_f es no vacío (salvo que $\mathbb {A}$ lo sea, cosa que suponemos falsa). $\qedsymbol$

Por tanto, la imagen del punto $\bf P$ está totalmente determinada por el punto $\bf Q$ = 1/2$\bf P$ + 1/2f ($\bf P$). (El punto medio del segmento que une $\bf P$ con su imagen f ($\bf P$). Esto nos lleva, de manera lógica a considerar el siguiente tipo de aplicaciones:

Definición 3.1.18 (Definición-proposición)   Sean S = S($\bf P$, E) un subespacio afín propio (es decir, que no es el total ni el vacío) de $\mathbb {A}$ y F $\subset$ V un subespacio vectorial de V complementario de E (es decir, V = E $\oplus$ F). Dado $\bf Q$ $\in$ $\mathbb {A}$, el conjunto S($\bf Q$, F) $\cap$ S($\bf P$, E) está formado por un único punto (llamémosle $\pi$($\bf Q$)). Se define la proyección sobre S en la dirección de F como la apliación

$$\pi$$ : $$\mathbb {A}$$	$$\rightarrow$$	S
$$\bf Q$$	$$\mapsto$$	S($$\bf Q$$, F) $$\cap$$ S($$\bf P$$, E).

Que se cortan en un sólo punto es consecuencia de la fórmula de las dimensiones y de que no son paralelos (por construcción).

LEMA 3.1.19   Si $\pi$ es la proyección sobre S con dirección F, como en la definición, entonces

• Dados $\bf Q$,$\bf Q'$ $\in$ $\mathbb {A}$, si $\pi$($\bf Q$) = $\pi$($\bf Q'$), entonces $\bf QQ'$ $\in$ F. Y viceversa, si $\bf QQ'$ $\in$ F, entonces $\pi$($\bf Q$) = $\pi$($\bf Q'$).
• $\pi$ transforma subespacios afines de $\mathbb {A}$ en subespacios afines de S. Además, dado $\bf Q$ $\in$ $\mathbb {A}$ y un subespacio vectorial E' $\subset$ V, entonces E' $\cap$ F = {0} si y sólo si dim($\pi$(S($\bf Q$, E'))) = dim(S($\bf Q$, E')).

Demostración. Sean $\bf Q$,$\bf Q'$ $\in$ $\mathbb {A}$ dos puntos con la misma imagen. Ahora bien, $\bf Q$$\pi$($\bf Q$) $\in$ F y $\bf Q'$$\pi$($\bf Q'$) $\in$ F. Por tanto, como $\pi$($\bf Q$) = $\pi$($\bf Q'$), necesariamente el vector $\bf QQ'$ es $\bf QQ'$ = $\bf Q$$\pi$($\bf Q$) + $\pi$($\bf Q$)$\bf Q'$ está en F. El recíproco es exactamente igual.

El segundo apartado lo dejamos sin demostrar. $\qedsymbol$

LEMA 3.1.20   Si (f,$\varphi$) es una afinidad cuyo cuadrado es la identidad (es decir, f² = fof = Id) y tomamos el subconjunto de V, F = L({$\bf P$f ($\bf P$) : $\bf P$ $\in$ $\mathbb {A}$}), entonces F es un subespacio complementario de la variedad de direcciones de E_f. Si, además, $\pi$ es la proyección sobre E_f de dirección F, entonces $\pi$($\bf P$) = 1/2$\bf P$ + 1/2f ($\bf P$).

Demostración. Es un subespacio vectorial por ser un linealizado. Veamos que es complementario de la variedad de direcciones de E_f. Primero hay que comprobar que la intersección de ambos es el vector 0. Sea v $\in$ d (E_f) $\cap$ F. Puesto que v $\in$ d (E_f), se tiene que $\varphi$(v) = v, al estar E_f formado por puntos fijos. Por otro lado v = $\sum$$\lambda_{{i}}^{}$$\bf P_{i}$f ($\bf P_{i}$), al estar en F. Como ya hemos visto que $\varphi$(v) = v, debe ser (utilizando que f² = Id):

v = $$\varphi$$(v) = $$\sum$$($$\varphi$$($$\lambda_{{i}}^{}$$$$\bf P_{i}$$f ($$\bf P_{i}$$))) = $$\sum$$$$\lambda_{{i}}^{}$$f ($$\bf P_{i}$$)$$\bf P_{i}$$ = - v

de donde v = - v y, por tanto, v = 0. Falta comprobar que todo vector de V es suma de uno de d (E_f) con otro de F. Tomemos v $\in$ V. Hay dos puntos $\bf P$,$\bf Q$ (en realidad hay infinitos) del espacio afín $\mathbb {A}$ tales que $\bf PQ$ = v. Por definición, $\pi$($\bf P$)$\pi$($\bf Q$) $\in$ d (E_f) y como sabemos que $\bf P$$\pi$($\bf P$) y $\bf Q$$\pi$($\bf Q$) están en F, necesariamente se tiene que

$$\bf P \bf Q \bf P \pi \bf P \pi \bf P \bf Q \bf P \pi \bf P \pi \bf P \pi \bf Q \pi \bf Q \bf Q$$

$$\bf P \pi \bf P \bf Q \pi \bf Q \pi \bf P \pi \bf Q$$

que es una suma de un vector de F y otro de E_f.

Para comprobar que $\pi$($\bf P$) = 1/2$\bf P$ + 1/2f ($\bf P$), se razona como sigue: el punto 1/2$\bf P$ + 1/2f ($\bf P$) es fijo, por ser f involutiva. Por otro lado, dicho punto está en S($\bf P$, F), pues es el punto medio de $\bf P$ y f ($\bf P$). Como hemos visto que E_f y S($\bf P$, F) sólo se cortan en un punto, y a éste lo hemos llamado $\pi$($\bf P$), necesariamente ambos son iguales: 1/2$\bf P$ + 1/2f ($\bf P$) = $\pi$($\bf P$). $\qedsymbol$