Ecuación de una simetría oblicua

Las afinidades cuyo cuadrado es la identidad tienen una matriz asociada (en una referencia bien escogida) muy simple, como veremos a continuación. Fijemos lo necesario para definir una simetría: el eje y la dirección de proyección. Sea, pues, ($\mathbb {A}$, V) un espacio afín de dimensión n y E un subespacio propio (ni el vacío ni el total) de $\mathbb {A}$. Sea F un subespacio vectorial complementario de la variedad de direcciones de E (a la que denotamos d (E)). Llamemos $\pi$ a la proyección de $\mathbb {A}$ sobre E de dirección F y sea f : $\mathbb {A}$ $\rightarrow$ $\mathbb {A}$ la aplicación g($\bf P$) = $\bf P$ + (2$\bf P$$\pi$($\bf P$)).

Tomemos una referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_r, f₁,..., f_n-r)) donde e_i $\in$ d (E) y f_j $\in$ F. Es elemental comprobar que un punto $\bf P$ de coordenadas (p₁,..., p_n) se transforma, por g en g($\bf P$) = (p₁,..., p_r,-p_r+1,...,-p_n) y, por tanto g es una aplicación cuyas ecuaciones en la referencia $\mathcal {R}$ vienen determinadas por la matriz siguiente:

M(g,$$\mathcal {R}$$) = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & \overbrace{ \... ...\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dots & -1 \end{array}\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & \overbrace{ \begin{array}{ccc}... ...dots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dots & -1 \end{array}\end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & \overbrace{ \... ...\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dots & -1 \end{array}\end{array}}\right)$$

y, por tanto, g es una afinidad. Su cuadrado es la identidad porque M(g,$\mathcal {R}$) es la matriz identidad. Es elemental comprobar que g es la simetría respecto de E en la dirección F.