Isometrías de un espacio vectorial métrico

Nota 3.3.3 Tomemos una base (e₁,..., e_n) de V. Supongamos que la matriz de < , > en dicha base es (g_ij) (no estamos suponiendo que la base es ortonormal). Sea $\varphi$ un endomorfismo de V cuya matriz en la base anterior es N. El endomorfismo $\varphi$ es una isometría si y sólo si cumple las dos propiedades siguientes:

Es inversible, es decir det(N) $\neq$ 0.
Para todos u, v de V, es < u, v > = < $\varphi$ (u), $\varphi$ (v) >, que en coordenadas se escribe

< u, v > = ( $\displaystyle \begin{array}{ccc} u_{1}& \dots &u_{n} \end{array}$ )(g_ij) $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right)$ = < $\displaystyle \varphi$ (u), $\displaystyle \varphi$ (v) > =

( $\displaystyle \begin{array}{ccc} u_{1}& \dots &u_{n} \end{array}$ ) (N)^t(g_ij)N $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right)$

es decir, si y sólo si N^t(g_ij)N = (g_ij).

La segunda condición, puesto que det((g_ij)) $\neq$ 0 (al ser definida positiva), se puede resumir en que det(N)² = 1, es decir, det(N) = ±1, que implica automáticamente que N es inversible. Por tanto, un endomorfismo $\varphi$ es una isometría si y sólo si existe una base para la que N^t(g_ij)N = (g_ij), donde (g_ij) y N son las matrices de la métrica y de la apliación en dicha base.

Demostración. Por partes, claro. Basta probar que 1 $\Rightarrow$ 2 $\Rightarrow$ 3 $\Rightarrow$ 4 $\Rightarrow$ 1.

1 $\Rightarrow$ 2)

Como es una isometría, es automáticamente lineal y además, < u, v > = < $\varphi$ (u), $\varphi$ (v) > para todos u, v. Por tanto, para cualquier vector v, es |v|= $\sqrt{{<v,v>}}$ = < $\varphi$ (v), $\varphi$ (v) > ^1/2 =| $\varphi$ (v)|, Que es la condición 2).

2 $\Rightarrow$ 3)

Al ser lineal, $\varphi$ (0) = 0 y | $\varphi$ (v) - $\varphi$ (u)|=| $\varphi$ (v - u)|= (por la hipótesis 2.) =|v - u|.

3 $\Rightarrow$ 4)

Se ve fácilmente que | $\varphi$ (v)|=|v| para todo v, poniendo u = 0 en la condición 3.

Veamos ahora el caso general: tomemos u, v $\in$ V.

	\| $\displaystyle \varphi$ (v) - $\displaystyle \varphi$ (u) $\displaystyle \vert^{{2}}_{}$ = ( $\displaystyle \varphi$ (v) - $\displaystyle \varphi$ (u))² = $\displaystyle \varphi$ (v)² + $\displaystyle \varphi$ (u)² - 2 < $\displaystyle \varphi$ (v), $\displaystyle \varphi$ (u) > =
	=\| $\displaystyle \varphi$ (v) $\displaystyle \vert^{{2}}_{}$ +\| $\displaystyle \varphi$ (u) $\displaystyle \vert^{{2}}_{}$ - 2 < $\displaystyle \varphi$ (v), $\displaystyle \varphi$ (u) > .

Por otro lado, por la condicíon 3, se cumple que | $\varphi$ (v) - $\varphi$ (u) $\vert^{{2}}_{}$ =|v - u $\vert^{{2}}_{}$ y, desarrollando este miembro igual que antes, obtenemos que

| $\displaystyle \varphi$ (v) - $\displaystyle \varphi$ (u) $\displaystyle \vert^{{2}}_{}$ = (...) =|v $\displaystyle \vert^{{2}}_{}$ +|u $\displaystyle \vert^{{2}}_{}$ - 2 < v, u > ,

y, como ya hemos visto que, en general | $\varphi$ (v)|=|v|, se tiene necesariamente que

< $\displaystyle \varphi$ (v), $\displaystyle \varphi$ (u) > = < v, u >

que es lo que debíamos demostrar. Hay que tener en cuenta que, puesto que < , > es una forma definida postiva, siempre es < u, u > $\geq$ 0, lo que nos obliga a tomar las raíces cuadradas positivas en todas las igualdades anteriores.

4 $\Rightarrow$ 1)

Ésta es un poco más complicada porque hemos de comprobar la linealidad. Tomemos primero una base (e₁,..., e_n) de V, ortonormal. Se comprueba que ( $\varphi$ (e₁),..., $\varphi$ (e_n)) es también una base ortonormal: por tener tamaño n y por ser los vectores independientes (una familia de vectores ortogonales dos a dos por un producto escalar, está formada por vectores independientes). Por otro lado, si v = $\sum$ $\lambda_{{i}}^{}$ e_i, entonces $\varphi$ (v) será una combinación lineal de la base { $\varphi$ (e₁),..., $\varphi$ (e_n)}:

$\displaystyle \varphi$ (v) = $\displaystyle \sum$ b_j $\displaystyle \varphi$ (e_j)

de donde, necesariamente, es < $\varphi$ (v), $\varphi$ (e_k) > = b_k. Pero la condición 4 dice que < $\varphi$ (v), $\varphi$ (e_k) > = < v, e_k > = $\lambda_{{k}}^{}$ , luego

$\displaystyle \varphi$ (v) = $\displaystyle \varphi$ ( $\displaystyle \sum$ $\displaystyle \lambda_{{i}}^{}$ e_i) = $\displaystyle \sum$ $\displaystyle \lambda_{{i}}^{}$ $\displaystyle \varphi$ (e_i))

así que $\varphi$ es una aplicación lineal. Como transforma una base ortonormal en otra ortonormal, es una isometría.

$\qedsymbol$

< u, v > = ( $\displaystyle \begin{array}{ccc} u_{1}& \dots &u_{n} \end{array}$ )(g_ij) $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right)$ =	< $\displaystyle \varphi$ (u), $\displaystyle \varphi$ (v) > =
( $\displaystyle \begin{array}{ccc} u_{1}& \dots &u_{n} \end{array}$ )	(N)^t(g_ij)N $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array} }\right)$