Movimientos de un espacio euclídeo

Definición 3.3.5   Dado un espacio euclídeo E, denominaremos movimiento en E a toda afinidad f de E cuyo automorfismo asociado sea una isometría.

LEMA 3.3.6   La composición de dos movimientos es un movimiento.

Demostración. Por la definición, basta comprobar que la composición de isometrías es una isometría. Sea $\varphi$ y $\psi$ dos isometrías de V. Comprobemos que se tiene la igualdad < $\varphi$($\psi$(u)),$\varphi$($\psi$(v)) > = < u, v >:

< $$\varphi$$($$\psi$$(u)),$$\varphi$$($$\psi$$(v)) > = < $$\psi$$(u),$$\psi$$(v) > = < u, v >

(la primera igualdad porque $\varphi$ es isometría y la segunda porque $\psi$ lo es). Por tanto, $\varphi$o$\psi$ es una isometría, por el teorema anterior. $\qedsymbol$

PROPOSICIÓN 3.3.7   Una aplicación f : E $\rightarrow$ E es un movimiento si y sólo si para todos $\bf P$,$\bf Q$ $\in$ E se tiene que d ($\bf P$,$\bf Q$) = d (f ($\bf P$), f ($\bf Q$)).

Demostración. Por partes, primero el directo y luego el recíproco.

$\Rightarrow$ )

Sea $\varphi$ la isometría asociada. Se tiene la siguiente cadena de igualdades

d ($$\bf P$$,$$\bf Q$$) =|$$\bf P$$$$\bf Q$$|=|$$\varphi$$($$\bf PQ$$)|=|f ($$\bf P$$)f ($$\bf Q$$)|= d (f ($$\bf P$$), f ($$\bf Q$$)).

Y terminamos el directo.

$\Leftarrow$ )

Lo dividimos en dos casos:

a) La aplicación f deja un punto fijo, digamos f ($\bf O$) = $\bf O$. Para construir el automorfismo asociado, definimos $\varphi$ : V $\rightarrow$ V como $\varphi$(v) = (f ($\bf O$)f ($\bf O$ + v)) = $\bf O$f ($\bf O$ + v). Está claro que $\varphi$ es una aplicación (está bien definida). Además, $\varphi$(0) = 0, por construcción. Sean ahora u, v $\in$ V. Se tiene que

|v - u|=|($$\bf O$$ + u)($$\bf O$$ + v)|= d ($$\bf O$$ + u,$$\bf O$$ + v) = d (f ($$\bf O$$ + u), f ($$\bf O$$ + v))

(la última igualdad por hipótesis), y esta última distancia es

$$\bf O \bf O \bf O \bf O$$

$$\bf O \varphi \bf O \varphi \varphi \varphi$$

De donde, por 3) de la proposición anterior, $\varphi$ es una isometría. Se comprueba de modo elemental que el par (f,$\varphi$) una afinidad, necesariamente f es un movimiento.

b) Si f no deja ningún punto invariante, entonces existe una traslación T_v tal que foT_v deja fijo algún punto $\bf P$. Por el apartado a), foT_v es un movimiento. Por tanto, como las traslaciones son movimientos (pues su automorfismo asociado es la identidad, que es una isometría) y puesto que la composición de movimientos es un movimiento, la aplicación foT_voT_-v es un movimiento, pero foT_voT_-v = f, así que f es un movimiento.

$\qedsymbol$