a) La aplicación f deja un punto fijo, digamos f () = . Para construir el automorfismo asociado, definimos : V V como (v) = (f ()f ( + v)) = f ( + v). Está claro que es una aplicación (está bien definida). Además, (0) = 0, por construcción. Sean ahora u, v V. Se tiene que
d (f ( + u), | f ( + v)) =|f ( + u)f ( + v)|= | |
=|( + (u))( + (v))|=|(v) - (u)| |
b) Si f no deja ningún punto invariante, entonces existe una traslación Tv tal que foTv deja fijo algún punto . Por el apartado a), foTv es un movimiento. Por tanto, como las traslaciones son movimientos (pues su automorfismo asociado es la identidad, que es una isometría) y puesto que la composición de movimientos es un movimiento, la aplicación foTvoT-v es un movimiento, pero foTvoT-v = f, así que f es un movimiento.