Isometrías de tipo a)

Fijemos una isometría $\psi$ de tipo a) cuya matriz escribimos

M_$\psi$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right)$$.

Una cuenta facílisma nos dice que el polinomio caracterísitico de M_$\psi$ es $\lambda^{{2}}_{}$ - 1, así que sus autovalores son ±1. Es decir, habrá vectores fijos y vectores que cambian de signo.

Veamos cuáles son los vectores fijos:

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} x\\ y \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} x\\ y \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} x\\ y \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} x\\ y \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} x\\ y \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} x\\ y \end{array}}\right)$$

que es el sistema

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} x\cos\alpha +y\sen\alpha =x\\ x\sen\alpha -y\cos \alpha =y \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{l} x\cos\alpha +y\sen\alpha =x\\ x\sen\alpha -y\cos \alpha =y \end{array}$$

que es un sistema compatible indeterminado. Su solución (general) es

x = x,  y = x$${\frac{{1-\cos\alpha }}{{\sen\alpha }}}$$ = (...) = x tan$${\frac{{\alpha }}{{2}}}$$

que es la recta vectorial de pendiente $\alpha$/2.

Nota 3.3.12   Si $\alpha$ es $\pi$, no está definida la tangente de $\alpha$/2: en este caso, el eje de la simetría es la recta x = 0 (que no se puede poner en la forma y = f (x)).

Del mismo modo se comprueba que el espacio propio asociado al autovalor -1 está compuesto por los vectores de la forma

x = x,  y = x tan$${\frac{{-\alpha }}{{2}}}$$

que son los ortogonales al eje de vectores invariantes.

Es decir, $\psi$ es la simetría ortogonal cuyo eje es la recta de pendiente $\alpha$/2.