Isometrías de $\mathbb {R}$²

Como hemos visto, todos los espacios métricos de dimensión n son isométricos. Por tanto, a la hora de estudiar el grupo de isometrías, podemos trabajar siempre en $\mathbb {R}$ⁿ con el producto escalar usual y con la base canónica, que es ortonormal para ese producto. Por eso el título se refiere a $\mathbb {R}$², pero el estudio sirve para cualquier espacio de dimensión 2. Como, por otra parte, fijada una base ortonormal, el grupo ortogonal $\mathcal {O}$($\mathbb {R}$²) es isomorfo al grupo de matrices 2×2 ortonormales, nos podemos limitar a estudiar el grupo de matrices

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array}}\right)$$

tales que su inversa es su traspuesta, es decir, tales que

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}}\right)$$,

o sea, a₁₁² + a₂₁² = a₁₂² + a₂₂² = 1 y a₁₁a₁₂ + a₂₁a₂₂ = 0.

Las dos primeras igualdades permiten elegir dos ángulos $\alpha$,$\beta$ y escribir a₁₁ = cos$\alpha$, a₂₁ = $\sen$$\alpha$, a₁₂ = $\sen$$\beta$ y a₂₂ = cos$\beta$. Así las cosas, la segunda condición se traduce por

cos$$\alpha$$$$\sen$$$$\beta$$ + $$\sen$$$$\alpha$$cos$$\beta$$ = 0,

es decir, $\sen$($\alpha$ + $\beta$) = 0, con lo cual $\beta$ = - $\alpha$ + (2k + 1)$\pi$, ó $\beta$ = - $\alpha$ + 2k$\pi$, donde k es un número entero. En todo caso, sólo hay dos posibilidades esecialmente distintas (tomando k = 0):

a)

$\beta$ = - $\alpha$ + $\pi$. Se tiene que cos$\beta$ = - cos$\alpha$ y que $\sen$$\beta$ = $\sen$$\alpha$. Por tanto, la matriz es

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right)$$,

cuyo determinante es -1: es una simetría.

b)

En el otro caso, $\beta$ = - $\alpha$. Se tiene que $\sen$$\beta$ = - $\sen$$\alpha$ y que cos$\beta$ = cos$\alpha$, de donde la matriz es

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ -\sen\alpha & \cos\alpha \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ -\sen\alpha & \cos\alpha \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} \cos\alpha & \sen\alpha \\ -\sen\alpha & \cos\alpha \end{array}}\right)$$,

cuyo determinante es +1: es una rotación.

Vamos a estudiar con algo más de detalle cada tipo.