Anexo: áreas y volúmenes

Dedicamos esta breve sección a la definición de área (en general, volumen) de un hiperparalelepípedo (paralelogramo en dimensión 2, paralelepípedo en dimensión 3). Nos situamos en un espacio euclídeo real E de dimensión n. Fijamos un punto $\bf O$ y una familia de r vectores {u₁,..., u_r} con r $\leq$ n, linealmente independientes.

Definición 3.4.1   Se define el volumen del hiperparalelepípedo H formado por el punto $\bf O$ y la familia {u₁,..., u_r}, de manera recursiva:

• Si r = 1, entonces Vol (H) =|u₁|.
• Si r > 1, entonces Vol (H) = Vol ($\bf O$,{u₁,..., u_r-1}) ^. |v_r|. Donde v_r es la componente vertical de u_r respecto del subespacio L({u₁,..., u_r-1}).

El siguiente resultado lo enunciamos sin demostración.

TEOREMA 3.4.2   En las mismas condiciones que antes, si (e₁,..., e_n) es una base ortonormal de E y el hiperparalelepípedo es de dimensión n (es decir, viene dado por el punto $\bf O$ y la familia {u₁,..., u_n}) y se escribe u_i = $\sum_{{j=1}}^{{n}}$a_ije_j, entonces

Vol (H) =|det(a_ij)|.

Nota 3.4.3   Un triángulo con vértice en $\bf O$ y cuyos lados en $\bf O$ son los vectores u₁, u₂, tiene por volumen (área) la mitad del paralelogramo H = {$\bf O$,{u₁, u₂}}. Un tetraedro tiene por volumen 1/6 del paralelepípedo correspondiente.

Nota 3.4.4   Si v₁, v₂, v₃ son tres vectores en el espacio euclídeo V de dimensión 3 y $\bf O$ es un punto, entonces el área del paralelogramo {$\bf O$,{v₁, v₂}} es:

Vol ({$$\bf O$$,{v₁, v₂}}) =|v₁×v₂$$\vert^{{4}}_{}$$

(donde × indica el producto vectorial). El volumen de H = {$\bf O$,{v₁, v₂, v₃}} viene dado por

Vol ({$$\bf O$$,{v₁, v₂, v₃}} =|[v₁, v₂, v₃]|.

donde los corchetes indican el producto mixto.