Movimientos de $\mathbb {R}$²

Una vez estudiadas las isometrías del plano, la descripción de los movimientos es elemental:

TEOREMA 3.3.15   Cualquier movimiento del plano es del tipo siguiente:

1. Un giro.
2. Una simetría.
3. Una traslación.
4. La composición de un giro con una traslación.
5. La composición de una traslación con un giro.
6. La composición de una simetría con una traslación.
7. La composición de una traslación con una simetría.

Demostración. Esto es consecuencia de que todo movimento es composición de una traslación con un movimiento que deja fijo un punto. Como ya vimos, los que dejan fijo un punto se pueden identificar con las isometrías, así que (hablando con cierta imprecisión), todo movimiento es producto de una traslación y una isometría. Si no hay traslación estamos en los dos primeros casos, y si la hay, en los cinco últimos. $\qedsymbol$

Nota 3.3.16   Es muy importante el orden. No es lo mismo primero trasladar y luego girar que primero girar y luego trasladar.

Pero, de hecho, el teorema anterior no dice todo. Vamos a estudiar todos los movimientos en función de la orientación y de los puntos fijos. Tomemos, pues f : $\mathbb {R}$² $\rightarrow$ $\mathbb {R}$² un movimiento y llamemos $\varphi$ a su isometría asociada. Según la orientación, hay dos posibilidades: que la conserve o que no. Supongamos primero que la conserva.

Movimientos que conservan la orientación.

Tenemos, pues, un movimiento (f,$\varphi$) directo. En una referencia ortonormal, su matriz será

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hl... ...s\alpha & -\sen\alpha \\ v_{2} & \sen\alpha & \cos\alpha \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & \cos\alpha & -\sen\alpha \\ v_{2} & \sen\alpha & \cos\alpha \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hl... ...s\alpha & -\sen\alpha \\ v_{2} & \sen\alpha & \cos\alpha \end{array}}\right)$$

Hay un caso especial: cos$\alpha$ = 1: la isometría asociada es la identidad, así que el movimento es una traslación (o la identidad, si v₁ = v₂ = 0).

Si cos$\alpha$ $\neq$ 1, se comprueba que f tiene un único punto fijo (ejercicio IMPORTANTE), digamos $\bf Q$. Si cambiamos de referencia y tomamos $\mathcal {R}$^$\prime$ una ortonormal centrada en $\bf Q$, entonces la matriz de f en $\mathcal {R}$^$\prime$ es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hl... ...& \cos\alpha & -\sen\alpha \\ 0& \sen\alpha & \cos\alpha \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline 0& \cos\alpha & -\sen\alpha \\ 0& \sen\alpha & \cos\alpha \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hl... ...& \cos\alpha & -\sen\alpha \\ 0& \sen\alpha & \cos\alpha \end{array}}\right)$$

(pues el origen de $\mathcal {R}$^$\prime$ es fijo y la matriz de la isometría no cambia si las bases son ortonormales). Por tanto, f es exactamente el giro de ángulo $\alpha$ centrado en $\bf Q$.

Movimientos que cambian la orientación

Supongamos ahora que f es un movimiento inverso (es decir, la isometría $\varphi$ es una simetría). En una referencia $\mathcal {R}$ ortonormal, la matriz de f será

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1}& 0 & 0\\ \hli... ...s\alpha & \sen\alpha \\ v_{2} & \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1}& 0 & 0\\ \hline v_{1} & \cos\alpha & \sen\alpha \\ v_{2} & \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1}& 0 & 0\\ \hli... ...s\alpha & \sen\alpha \\ v_{2} & \sen\alpha & -\cos\alpha \end{array}}\right)$$.

Puede ocurrir que f tenga o no puntos fijos.

1.- Supongamos primero que f tiene puntos fijos. Sea $\bf P$ uno de ellos. Por la sección anterior, sabemos que existe una referencia $\mathcal {R}$^$\prime$ tal que la matriz de f en $\mathcal {R}$^$\prime$ es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} &0 & 0\\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} &0 & 0\\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} &0 & 0\\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}}\right)$$

(tomando como origen de $\mathcal {R}$^$\prime$ el punto $\bf P$). Por tanto, no sólo tiene un punto fijo, sino que hay toda una recta de puntos fijos. En concreto, si la base de $\mathcal {R}$^$\prime$ es (e'₁, e'₂), entonces la recta de puntos fijos es r = $\bf P$ + $\lambda$e'₁. Por tanto, el movimiento es la simetría ortogonal respecto de la recta $\bf P$ + $\lambda$e'₁.

2.- La otra posibilidad es que f no tenga puntos fijos. Tomando una base (e₁, e₂), podemos suponer que la matriz de f es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}}\right)$$.

La isometría $\varphi$ tiene (como se vio) dos rectas invariantes (en estas coordenadas, las rectas < e₁ > y < e₂ >). Por tanto, el movimiento puede tener rectas invariantes en dichas direcciones. Veamos si hay alguna en la segunda dirección (paralela a x = 0; es decir, de la forma x = k): hemos de ver si el siguiente sistema^3.3 tiene alguna solución en k

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline k\\ y \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline k\\ y \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline k\\ y \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline k\\ y' \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline k\\ y' \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline k\\ y' \end{array}}\right)$$

y -se comprueba- que la única posible es k = 0, cuando v₁ = 0. En la otra dirección (la dada por < e₁ >), el sistema correspondiente en k es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0 \\ v_{2} & 0 & -1 \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x\\ k \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x\\ k \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x\\ k \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x'\\ k \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x'\\ k \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline x'\\ k \end{array}}\right)$$

y -se comprueba- que tiene la solución k = v₂/2. Es decir, la recta

r :  y = v₂/2

es invariante. Obsérvese, además, que r es paralela al eje de simetría. Si tomamos el punto $\bf Q$ en esta recta y consideramos $\mathcal {R}$^$\prime$ = {(e₁, e₂)}, la matriz de f en $\mathcal {R}$^$\prime$ es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} &0 & 0\\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} &0 & 0\\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}}\right)$$.

y el movimiento es la composición de la simetría respecto de la recta $\bf Q$ + $\lambda$e₁ con la traslación de vector v₁/2e₁, que es paralela al eje de simetría. Por tanto, si v₁ = 0, tendríamos puntos fijos, cosa que estamos suponiendo falsa.

Conclusión: clasificación de los movimientos en $\mathbb {R}$².

De todo lo dicho se deduce la siguiente clasificación. Tomamos un movimiento f de $\mathbb {R}$². Sea M su matriz en una referencia ortonormal cualquiera $\mathcal {R}$ = ($\bf P$,(e₁, e₂)):

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} 1 & \begin{array}{cc} 0 ... ...\ \hline \begin{array}{c} v_{1}\\ v_{2} \end{array}& M' \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} 1 & \begin{array}{cc} 0 & 0 \end{array}\\ \hline \begin{array}{c} v_{1}\\ v_{2} \end{array}& M' \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} 1 & \begin{array}{cc} 0 ... ...\ \hline \begin{array}{c} v_{1}\\ v_{2} \end{array}& M' \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & m_{11} & m_{21}\\ v_{2} & m_{12} & m_{22} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & m_{11} & m_{21}\\ v_{2} & m_{12} & m_{22} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cc} {\bf 1} & 0 & 0\\ \hline v_{1} & m_{11} & m_{21}\\ v_{2} & m_{12} & m_{22} \end{array}}\right)$$,

Llamemos d = det(M) y t = m₁₁ + m₂₂ (la traza de $\varphi$). Sea v el vector v = (v₁, v₂) (que es la traslación asociada a f). Se tiene una posibilidad (y sólo una) de las siguientes:

• d = + 1: el movimiento es directo
  1. f no tiene puntos fijos: entonces t = 2, $\varphi$ = Id y f es la traslación de vector v.
  2. f tiene un único punto fijo $\bf Q$: entonces t = 2 cos$\alpha$, donde $\alpha$ $\in$ (0,$\pi$] y M es el giro de ángulo ±$\alpha$ con centro $\bf Q$. Para saber si es + $\alpha$ ó - $\alpha$, se ``mira'' el elemento m₂₁: si es m₂₃ < 0, entonces el giro es de + $\alpha$ grados. Si no, es de - $\alpha$ grados.^3.4
  3. f tiene más de un punto fijo: entonces f es la identidad.
• d = - 1: el movimiento es inverso
  1. f tiene algún punto fijo: entones f tiene toda una recta r de puntos fijos y es, de hecho, la simetría ortogonal de eje r.
  2. f no tiene puntos fijos: entonces f tiene una recta s invariante y f es composición de la simetría de eje s con una traslación paralela a s.

Además, se tiene que

LEMA 3.3.17   La composición de dos simetrías respecto de ejes que se cortan es un giro. La composición de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación.

No lo demostramos: ejercicio fácil sabiendo el resultado ``paralelo'' de isometrías y teniendo un poco de cuidado.

Por tanto, se tiene el siguiente

TEOREMA 3.3.18   Todo movimiento del plano euclídeo se puede escribir como composición de 3 simetrías.

Demostración. No hay ya nada que probar, pues por la tabla anterior, o es un giro (en cuyo caso es composición de dos simetrías, o es una simetría y (eventualmente) una traslación, en cuyo caso es composición de tres simetrías. $\qedsymbol$