Cuádricas con y sin centro

En toda esta sección se supondrá que las ecuaciones de las cuádricas son las reducidas. Sea C, por tanto, una cuádrica de ecuación

$$\bf a$$ + cx_r+1 + a₁x₁² + ... + a_rx_r² = 0.

El siguiente resultado muestra la importancia geométrica del coeficiente c:

TEOREMA 4.1.17   En la ecuación anterior se tiene que c = 0 si y sólo si las simetrías ortogonales de ejes los planos afines x_i = 0 (para todo i) dejan invariante la cuádrica.

Demostración. $\Rightarrow$ ) Tales simetrías consisten únicamente en cambiar de signo la coordenada i -ésima de los puntos de E. Por tanto, si c = 0, la ecuación de C sólo tiene términos de segundo grado y, por tanto, no se ve afectada por cambios de signo.

$\Leftarrow$ ) Supongamos que c $\neq$ 0. La simetría de eje x_r+1 = 0 consiste en cambiar de signo la coordenada r + 1 -ésima. Como es una ecuación de segundo grado estricto, $\lambda_{{1}}^{}$ $\neq$ 0. Entonces, el punto $\bf P$ = (1, 0,..., p_r+1 = - $\lambda_{{1}}^{}$/c, 0,..., 0) cumple la ecuación, pero su imagen por la simetría, que es $\bf Q$ = (1, 0,..., p_r+1 = $\lambda_{{1}}^{}$/c, 0,..., 0) no. $\qedsymbol$

De aquí que se dé la siguiente

Definición 4.1.18   Una cuádrica se dice que tiene centro si en su ecuación reducida no aparecen términos de grado 1. Si no, se dice que no tiene centro.

Está claro (por ser ambos números invariantes) que una cuádrica tiene centro si y sólo si el rango de A₀₀ no es n y además rg(M) > rg(A₀₀).

Definición 4.1.19   Se dice que C es degenerada si tiene centro y rg(A₀₀) = rg(M).

Definición 4.1.20   Una cuádrica es un cilindro si

• rg(A₀₀) < n y C tiene centro, o bien
• rg(A₀₀) < n - 1 y C no tiene centro.

Es interesante demostrar (como ejercicio) que una cónica es un cilindro si y sólo si existe un plano $\Pi$ $\subset$ E de vector director v que cumple la siguiente condición: para todo punto $\bf P$ de C, la recta $\bf P$ + < v > corta a $\Pi$ en un punto de C (ésta es la noción ``precisa'' de cilindro'').