Efecto de un movimiento sobre la ecuación de una cuádrica

. Para clasificar las cuádricas de un espacio euclídeo, vamos a permitir realizar cambios de referencia (o, lo que es lo mismo, movimientos). En realidad, vamos a restringirnos a los movimientos directos, puesto que se obtienen los mismos resultados que permitiendo simetrías. Fijemos, pues, un espacio euclídeo E de dimensión n y una referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)). Sea C = a₀₀ + 2$\sum$a_ix_i + $\sum_{{i,j=1}}^{{n}}$a_ijx_ix_j una cuádrica en E con matriz M(C,$\mathcal {R}$) = M. Puesto que todo movimiento es composición de uno que deja fijo $\bf O$ y una traslación, estudiamos primero el comportamiento por movimientos que fijan $\bf O$ y después por traslaciones.

LEMA 4.1.7   Sea f un movimiento de E que deja fijo $\bf O$ y G su matriz asociada en $\mathcal {R}$. Sea $\mathcal {R}$^$\prime$ la referencia obtenida al aplicarle f a $\mathcal {R}$. Escribamos

G = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1} & \begin{array}{... ...egin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}& \overline{G} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf 1} & \begin{array}{ccc}0 & \cdots 0\... ...hline \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}& \overline{G} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1} & \begin{array}{... ...egin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}& \overline{G} \end{array}}\right)$$.

Entonces, la matriz de C en la referencia $\mathcal {R}$^$\prime$ es

M(C,$$\mathcal {R}$$^$\prime$) = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...\\ a'_{n} \end{array}& ^{t}\overline{G}A_{00}\overline{G} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{array}{ccc} a'_{1} ... ... \vdots\\ a'_{n} \end{array}& ^{t}\overline{G}A_{00}\overline{G} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...\\ a'_{n} \end{array}& ^{t}\overline{G}A_{00}\overline{G} \end{array}}\right)$$

donde

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}}\right)$$ = G$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}}\right)$$.

Demostración. Basta tener en cuenta que, si (x'₁,..., x'_n) son las coordenadas de (x₁,..., x_n) en la nueva referencia, entonces

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}}\right)$$ = G$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} x'_{1}\\ \vdots\\ x'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} x'_{1}\\ \vdots\\ x'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} x'_{1}\\ \vdots\\ x'_{n} \end{array}}\right)$$

y sustituir esta expresión en la ecuación de la cuádrica C dada en la referencia $\mathcal {R}$. $\qedsymbol$

De este resultado y del teorema de diagonalización simultánea de métrica y forma bilineal simétrica, se deduce inmediatamente el siguiente

TEOREMA 4.1.8   Existe un cambio de referencia en E que deja fijo el origen, que transforma la matriz de C en una matriz

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}& D_{00} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{array}{ccc} a'_{1} ... ...e \begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}& D_{00} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}& D_{00} \end{array}}\right)$$

donde D₀₀ es una matriz diagonal.

Demostración. Como ya hemos visto, los movimientos que dejan fijo el origen afectan a la matriz A₀₀ como los cambios de una base ortonormal a otra. Aplicando el teorema de diagonalización simultánea, puesto que A₀₀ es diagonal, se termina. $\qedsymbol$

LEMA 4.1.9   En el teorema anterior, si f es una simetría que deja fijo el origen (es decir, f² = Id), entonces existe un movimiento directo g que también deja fijo el origen y que transforma la ecuación de C en la misma ecuación en que la transforma f.

Demostración. Si f es tal simetría y $\varphi$ su isometría asociada, entonces $\varphi$ transformará la base $\mathcal {B}$ = (e₁,..., e_n) en la base $\mathcal {B}$^$\prime$ = (e'₁ = $\varphi$(e)₁,..., e'_n = $\varphi$(e_n)). Basta tomar el movimiento g que deja fijo $\bf O$ y cuya isometría es $\overline{{\varphi }}$ que cumple: $\overline{{\varphi }}$(e₁) = - e'₁ y $\overline{{\varphi }}$(e_i) = e'_i, para i = 2,..., n. Téngase en cuenta que si una isometría es una simetría, es porque el determinante de la matriz asociada es -1; para cambiar el signo, basta cambiar de signo una columna: eso es lo que se hace al tomar, en vez de e'₁, su opuesto. La operación es ``cambiar de signo la primera coordenada'' y, como la matriz de C tras f es diagonal, es

C $$\equiv$$ a₀₀ + 2$$\sum$$a'_ix_i + $$\sum$$a_iix_i² = 0,(sin ``j'')

y un punto (x₁,..., x_n) cumple esa ecuación si y sólo si (- x₁, x₂,..., x_n) la cumple. $\qedsymbol$

Nota 4.1.10   De hecho, lo que se tiene es que se puede diagonalizar simultáneamente una métrica y una forma bilineal simétrica con una isometría que sea una rotación (es decir, de determinante +1). La demostración es la del lema anterior.

LEMA 4.1.11   Dada una cuádrica C en el espacio euclídeo E, en una referencia $\mathcal {R}$, si g es una traslación de vector v = (v₁,..., v_n) y la matriz de C es M = M(C,$\mathcal {B}$) (con la notación de la sección anterior), entonces la matriz de C en la referencia $\mathcal {R}$^$\prime$ obtenida ``por el cambio'' g es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a'_{00}} & \begin{a... ...{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf a'_{00}} & \begin{array}{ccc} a'_{1}... ...e \begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a'_{00}} & \begin{a... ...{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}}\right)$$,

donde $\bf a'_{00}$ = $\bf a_{00}$ + 2 < v, a > (a es el vector (a₁,..., a_n) y

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} a'_{1}\\ \vdots\\ a'_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}}\right)$$ + A₀₀$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right)$$.

No lo demostramos porque es un ejercicio muy sencillo (téngase en cuenta que la isometría asociada a una traslación es la identidad, cuya matriz es, en cualquier base, la misma).

De los dos lemas anteriores se deduce el

TEOREMA 4.1.12   [Primera forma canónica de una cuádrica] Dada una cuádrica C en una referencia $\mathcal {R}$ del espacio euclídeo E, existe un movimiento directo (es decir, un cambio de referencia que conserva la orientación) g de E tal que la matriz de C en la referencia $\mathcal {R}$^$\prime$ = g($\mathcal {R}$) es de la forma

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert cccccc} {\bf A} & 0 & \cdot... ...ddots & \vdots\\ c_{n-r} &0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert cccccc} {\bf A} & 0 & \cdots & 0 & c_{1} & \... ...dots & \ddots & \vdots\\ c_{n-r} &0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert cccccc} {\bf A} & 0 & \cdot... ...ddots & \vdots\\ c_{n-r} &0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}}\right)$$

donde los $\lambda_{{i}}^{}$ son todos distintos de 0.

Demostración. Que la matriz A₀₀ se puede transformar en una diagonal con los autovalores distintos de 0 en los primeros lugares es consecuencia del teorema de diagonalización simultánea y de la nota anterior. Una vez escrita así la cuádrica, los autovalores no nulos eliminan -mediante una traslación conveniente- los términos a_j que corresponden, sin afectar a la parte de grado 2. Los otros (los c_i que aparecen), en principio no podemos eliminarlos (aunque veremos a continuación que ``casi''). $\qedsymbol$

En realidad, el resultado se puede refinar aún más:

TEOREMA 4.1.13   [Forma canónica de una cuádrica] Dada una cuádrica C en una referencia $\mathcal {R}$ de E, existe una referencia $\mathcal {R}$^$\prime$ en la que su matriz es

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccccccc} {\bf A'} & 0 & \cd... ... \ddots & \vdots\\ 0 &0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccccccc} {\bf A'} & 0 & \cdots & 0 & c'_{1} ... ...\vdots & \ddots & \vdots\\ 0 &0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccccccc} {\bf A'} & 0 & \cd... ... \ddots & \vdots\\ 0 &0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}}\right)$$

donde, si c'₁ $\neq$ 0, entonces $\bf A'$ = 0 y los $\lambda_{{i}}^{}$ son todos distintos de 0.

Demostración. Tómese una referencia $\mathcal {R}$^{$\prime$$\prime$} = ($\bf O{^\prime}{^\prime}$,(e''₁,..., e''_n)) en la que C se escriba como en el Teorema 1.12. Si c_i = 0 para todo i, entonces tomamos $\mathcal {R}$^$\prime$ = $\mathcal {R}$^{$\prime$$\prime$} y se termina (en este caso, c₁ = 0 también). Si no, podemos suponer que c₁ $\neq$ 0 en la expresión del Teorema 1.12 (tras, eventualmente, cambiar de orden dos vectores de la base y de signo uno de ellos). Consideremos el vector (c₁,..., c_n-r) del espacio euclídeo n - r dimensional E_n-r. Existe por lo menos un movimiento directo $\overline{{g}}$ de E_n-r que lo transforma en el vector (c'₁, 0,..., 0), con |(c₁,..., c_n-r)|=|c'₁|. Si $\overline{{G}}$ es la matriz de $\overline{{g}}$, se toma el movimiento g en E de matriz

M(g,$$\mathcal {R}$$^{$\prime$$\prime$}) = G = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{cc} Id & {\bf0}\\ {\bf0} & ^{t}\overline{G} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} Id & {\bf0}\\ {\bf0} & ^{t}\overline{G} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{cc} Id & {\bf0}\\ {\bf0} & ^{t}\overline{G} \end{array}}\right)^{{t}}_{}$$,

que es directo. Se comprueba inmediatamente que g transforma la matriz de C en la del enunciado (por el lema de la sección anterior sobre el efecto de las rotaciones en la matriz de una cuádrica). Para terminar, en este caso ( c'₁ $\neq$ 0) se puede cambiar de referencia por la traslación x'_n+1 = x'_n+1 - $\bf A'$/c'₁ y se elimina el $\bf A'$. $\qedsymbol$

La forma matricial del Teorema 1.13 se llama matriz canónica de la cuádrica C. La ecuación

$$\bf A'$$ + c'₁x_r+1 + $$\sum_{{i=1}}^{{r}}$$$$\lambda_{{i}}^{}$$x_i² = 0

se llama forma canónica de C.

Definición 4.1.14   Sea C una cuádrica cuya forma canónica es

C $$\equiv$$ $$\bf A'$$ + c'₁x_r+1 + $$\sum_{{i=1}}^{{r}}$$$$\lambda_{{i}}^{}$$x_i² = 0.

Se llama ecuación reducida de C a la siguiente ecuación:

• Si A' = 0, entonces la forma canónica es ya la ecuación reducida.
• Si A' $\neq$ 0, entonces la ecuación reducida de C es
  ±1 + $$\sum_{{i=1}}^{{r}}$$$${\frac{{\lambda _{i}}}{{\sqrt{\vert {\bf A'} \vert }}}}$$x_i² = 0,
  donde el signo del 1 se toma el mismo que el de $\bf A'$.

Es obvio que la ecuación reducida es la misma que la forma canónica (pues se han dividido ambos miembros por el mismo número). Para terminar, se tiene el

TEOREMA 4.1.15 (de clasificación de cuádricas)   Dos cuádricas difieren en un cambio de referencia si y sólo si tienen la misma ecuación reducida (salvo cambio de orden de las variables).

La demostración es consecuencia de todos los resultados previos. Terminamos dando una lista de invariantes para una cuádrica:

TEOREMA 4.1.16   Dada una cuádrica de matriz M en una referencia ortonormal $\mathcal {R}$^$\prime$, los siguientes números son invariantes (no dependen de la referencia ortonormal):

• El rango de A₀₀.
• El rango de M.
• La signatura de A₀₀.

La demostración de que son invariantes es, una vez más, consecuencia de todo el trabajo que ya hemos hecho.