Formas canónicas de las cuádricas

La sección anterior nos va a permitir escribir las ecuaciones de una cuádrica (que definiremos a continuación) en una manera muy sencilla (``casi diagonal''), mediante movimientos en el espacio -que son las transformaciones que dejan invariante la métrica). De hecho, vamos a conseguirlo exclusivamente con giros, como se verá.

Definición 4.1.6   Una cuádrica en un espacio euclídeo E de dimensión n en el que se ha fijado una referencia $\mathcal {R}$, es una ecuación polinómica en las variables (x₁,..., x_n) de la forma

C $$\equiv$$ a₀₀ + 2$$\sum$$a_ixⁱ + $$\sum_{{i,j=1}}^{{n}}$$a_ijx_ix_j = 0,

donde a_ij = a_ji y algún a_ij es distinto de 0. Geométricamente, una cuádrica es ``el conjunto de puntos del espacio euclídeo que satisfacen una ecuación como C'' -pero esta definición es engañosa (ver notas de clase).

Dada una cuádrica C, podemos definir la matriz de C en la referencia $\mathcal {B}$ como la matriz

M(C,$$\mathcal {B}$$) = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf a_{00}} & a_{1} &... ...dots & \ddots & \vdots\\ a_{n} & a_{1n} & \cdots & a_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf a_{00}} & a_{1} & \cdots & a_{n}\\... ...ots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n} & a_{1n} & \cdots & a_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf a_{00}} & a_{1} &... ...dots & \ddots & \vdots\\ a_{n} & a_{1n} & \cdots & a_{nn} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...in{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{array}{ccc} a_{1} &... ...ine \begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...in{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}}\right)$$,

que, repito, depende de la referencia. La definición es ``natural'' en el sentido siguiente: si C viene representada por la ecuación de arriba, entonces un punto $\bf P$ = (p₁,..., p_n) está en C si y sólo si

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & p_{1} & \cdots & p_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & p_{1} & \cdots & p_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert ccc} {\bf 1} & p_{1} & \cdots & p_{n} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...in{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{array}{ccc} a_{1} &... ...ine \begin{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf a_{00}} & \begin{ar... ...in{array}{c} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}& A_{00} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf 1}\\ \hline p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{array}}\right)$$ = 0.