Ortogonalidad, etc...

En todo este capítulo trataremos con formas bilineales simétricas. (Ej: el producto escalar).

Definición 1.2.1   Sea f una forma bilineal simétrica sobre un e.v. V.

• Dos vectores u, v se llaman ortogonales (y se escribe) u $\perp_{{f}}^{}$ v si y sólo si f (u, v) = 0. Por lo general no escribiremos la f, porque se sobreentenderá.
• Si S $\subset$ V es un subconjunto de V, se llama variedad ortogonal a S y se escribe S^$\perp$ a
  S^$\perp$ = {v $$\in$$ V : u $$\perp$$ v   $$\forall$$u $$\in$$ S}

Ejemplos:

1. Para el producto escalar habitual en $\mathbb {R}$³, los vectores (1, 1, 1) y (0, - 1, 1) (dibujarlos) son ortogonales. Para esta forma no hay vectores isótropos aparte del 0.
2. Para la forma que tiene las mismas ecuaciones pero en $\mathbb {C}$³, el vector (1, i, 0) es ortogonal a sí mismo.

Se define vector isótropo como aquél que es ortogonal a sí mismo. Por ejemplo, en Relatividad, la forma cuadrática que se utiliza es x₁² + x₂² + x₃² - x₄² y los vectores isótropos son aquellos que tienen ``mismo espacio y tiempo'' en módulo, v. gr.:

(0, 1, 0, 1), (1, 1, 1,$$\sqrt{{3}}$$),...

Ejemplo: Para la forma de la integral en V = {funciones en [0, 1] continuas}, no hay más véctores isótropos que el 0.

PROPOSICIÓN 1.2.2   Dada una forma bilineal simétrica sobre un e.v. V, se tiene: ker(f )= V^$\perp$.

Demostración. Para ver una igualdad de conjuntos hay que ver las inclusiones mutuas.

• [ker(f ) $\subset$ V^$\perp$)] Sea v $\in$ ker(f ). Entonces f (v, w) = 0 para todo w $\in$ V: es decir v es ortogonal a todos los elementos de V. OK.
• [V^$\perp$ $\subset$ ker(f )] Sea v $\in$ V^$\perp$. Esto significa que para todo w $\in$ V se tiene f (v, w) = 0, que es la definición de vector de ker(f ). OK.

$\qedsymbol$

LEMA 1.2.3   Dos vectores no isótropos y ortogonales son linealmente independientes.

Demostración. Tomemos una combinación lineal e igualémosla a 0:

$$\lambda$$u + $$\mu$$v = 0.

Apliquemos la condición: f (u,$\lambda$u + $\mu$v) = $\lambda$f (u, u) + $\mu$f (u, v) = $\lambda$f (u, u) pues son ortogonales. Como $\lambda$u + $\mu$v = 0, es f (u,$\lambda$u + $\mu$v) = f (u, 0) = 0. Ergo $\lambda$f (u, u) = 0 y, por ello, $\lambda$ = 0, pues u no es isótropo. Lo mismo para $\mu$. $\qedsymbol$

PROPOSICIÓN 1.2.4   Una forma bilineal simétrica es definida si y sólo si el único vector isótropo es el 0.

Demostración. Para la derecha es evidente y para la izquierda también. $\qedsymbol$