Matriz de una forma bilineal

Vamos a escribir las cosas como trabajan los humanos, esto es, con ``numeritos''.

PROPOSICIÓN 1.1.13   Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y $\mathcal {B}$ = (e₁,..., e_n) una base de V. Sea (a_ij) una matriz n×n de elementos de K. Con estos datos, existe una única forma bilineal f : V×V $\rightarrow$ K tal que f (e_i, e_j) = a_ij para todos los i, j de 1 a n.

Demostración. Primero la existencia y luego la unicidad

• Existencia. Pues, dados u, v $\in$ V, los escribo
  u = $$\lambda_{{1}}^{}$$e₁ + ... + $$\lambda_{{n}}^{}$$e_n,  v = $$\mu_{{1}}^{}$$e₁ + ...$$\mu_{{n}}^{}$$e_n
  y defino
  f (u, v) = $$\sum_{{i,j=1}}^{{n}}$$$$\lambda_{{i}}^{}$$$$\mu_{{j}}^{}$$f (e_i, e_j),
  y ``se comprueba'' que esto es bilineal.
• Unicidad. Es evidente, porque si queremos que sea bilineal, dados u, v $\in$ V, escritos en la base $\mathcal {B}$, la expresión de f (u, v) debe ser la de arriba.

$\qedsymbol$

Así pues, podemos hablar de la matriz de una forma bilineal en la base $\mathcal {B}$. Tal como lo hemos escrito arriba, se pone

f (u, v) = (u₁...u_n)$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right)$$

que, más abreviadamente, si llamamos M a la matriz (a_ij), escribimos

f (u, v) = u^tMv.

Es evidente que una forma bilineal es simétrica si y sólo si hay una base en la cual la matriz es simétrica, es decir M = M^t y es hemisimétrica si y sólo si M = - M^t (y en ambos casos, todas lo cumplen).

Para formas hermíticas, lo de arriba se escribe

f (u, v) = (u₁...u_n)$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} \overline{v}_{1}\\ \vdots\\ \overline{v}_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} \overline{v}_{1}\\ \vdots\\ \overline{v}_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} \overline{v}_{1}\\ \vdots\\ \overline{v}_{n} \end{array}}\right)$$

y, además, a_ij = $\overline{{a_{ji}}}$.

HASTA AQUÍ LA CLASE 2: 990211

PROPOSICIÓN 1.1.14   La matriz de f depende de la base elegida. En concreto, si $\mathcal {B}$^$\prime$ = (e'₁,..., e'_n) es otra base y el cambio de base viene dado por la matriz P (esto es: P = (p_ij) y se pone e'_i = $\sum$p_jie_j) (atención a los subíndices p_ij en P y p_ji en e'_i), entonces la matriz de f en la base $\mathcal {B}$^$\prime$ es

P^tMP.

Demostración.

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ccc} p_{11} & \dots & p_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & \dots & p_{nn} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} p_{11} & \dots & p_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & \dots & p_{nn} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} p_{11} & \dots & p_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & \dots & p_{nn} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} v'_{1}\\ \vdots\\ v'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} v'_{1}\\ \vdots\\ v'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} v'_{1}\\ \vdots\\ v'_{n} \end{array}}\right)$$

donde las v_i son las coordenadas en la base $\mathcal {B}$ y las v'_i en la base $\mathcal {B}$^$\prime$. Para u, como lo estamos poniendo traspuesto, es

(u₁ ^... u_n) = (u'₁ ^... u'_n)P^t

de donde:

f (u, v) = (u'₁ ^... u'_n)P^tMP$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} v'_{1}\\ \vdots\\ v'_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} v'_{1}\\ \vdots\\ v'_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} v'_{1}\\ \vdots\\ v'_{n} \end{array}}\right)$$.

Importante: para formas hermíticas -en las que f (u, v) = $\overline{{f(v,u)}}$ y lineales en la primera- el cambio de base es: MUCHO OJO CON ESTO!:

f (u, v) = (u₁ ^... u_n)P^tM$$\overline{{P}}$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} \overline{v_{1}}\\ \vdots\\ \overline{v_{n}} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} \overline{v_{1}}\\ \vdots\\ \overline{v_{n}} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} \overline{v_{1}}\\ \vdots\\ \overline{v_{n}} \end{array}}\right)$$;   i.e. M' = P^tM$$\overline{{P}}$$

$\qedsymbol$

Primer invariante asociado a una matriz de una forma bilineal: Supongamos que nuestra forma f es simétrica, antisimétrica o hermítica. Entones el núcleo ker(f ) está bien definido y tiene dimensión r, por ejemplo. Sea M una matriz de f en una base cualquiera. Un vector v está en el núcleo si y sólo si la aplicación f ( ^. , v) es exactamente la aplicación 0. Ergo si y sólo si

M$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_{n} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}}\right)$$

es decir, si es solución del sistema homogéneo que define M. Pero las soluciones de este sistema homogéneo son un subespacio vectorial de V de dimensión n - rg(M). De donde

n - rg(M) = dim(ker(f )).

Problemas: ¿dónde he utilizado que f sea simétrica? Hacer esta demostración para las hermíticas.

HASTA AQUÍ LA CLASE 3 990212