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Matriz de una forma bilineal

Vamos a escribir las cosas como trabajan los humanos, esto es, con ``numeritos''.

PROPOSICIÓN 1.1.13   Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K y $ \mathcal {B}$ = (e1,..., en) una base de V. Sea (aij) una matriz n×n de elementos de K. Con estos datos, existe una única forma bilineal f : V×V $ \rightarrow$ K tal que f (ei, ej) = aij para todos los i, j de 1 a n.

Demostración. Primero la existencia y luego la unicidad $ \qedsymbol$

Así pues, podemos hablar de la matriz de una forma bilineal en la base $ \mathcal {B}$. Tal como lo hemos escrito arriba, se pone

f (u, v) = (u1...un)$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}}\right)$

que, más abreviadamente, si llamamos M a la matriz (aij), escribimos

f (u, v) = utMv.

Es evidente que una forma bilineal es simétrica si y sólo si hay una base en la cual la matriz es simétrica, es decir M = Mt y es hemisimétrica si y sólo si M = - Mt (y en ambos casos, todas lo cumplen).

Para formas hermíticas, lo de arriba se escribe

f (u, v) = (u1...un)$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{array}}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
\overline{v}_{1}\\  \vdots\\  \overline{v}_{n}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
\overline{v}_{1}\\  \vdots\\  \overline{v}_{n}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
\overline{v}_{1}\\  \vdots\\  \overline{v}_{n}
\end{array}}\right)$

y, además, aij = $ \overline{{a_{ji}}}$.
HASTA AQUÍ LA CLASE 2: 990211

PROPOSICIÓN 1.1.14   La matriz de f depende de la base elegida. En concreto, si $ \mathcal {B}$$\scriptstyle \prime$ = (e'1,..., e'n) es otra base y el cambio de base viene dado por la matriz P (esto es: P = (pij) y se pone e'i = $ \sum$pjiej) (atención a los subíndices pij en P y pji en e'i), entonces la matriz de f en la base $ \mathcal {B}$$\scriptstyle \prime$ es

PtMP.

Demostración.

$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{ccc}
p_{11} & \dots & p_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  p_{n1} & \dots & p_{nn}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ccc}
p_{11} & \dots & p_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  p_{n1} & \dots & p_{nn}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
p_{11} & \dots & p_{1n}\\  \vdots & \ddots & \vdots\\  p_{n1} & \dots & p_{nn}
\end{array}}\right)$$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
v'_{1}\\  \vdots\\  v'_{n}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
v'_{1}\\  \vdots\\  v'_{n}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
v'_{1}\\  \vdots\\  v'_{n}
\end{array}}\right)$

donde las vi son las coordenadas en la base $ \mathcal {B}$ y las v'i en la base $ \mathcal {B}$$\scriptstyle \prime$. Para u, como lo estamos poniendo traspuesto, es

(u1 ... un) = (u'1 ... u'n)Pt

de donde:

f (u, v) = (u'1 ... u'n)PtMP$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
v'_{1}\\  \vdots\\  v'_{n}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
v'_{1}\\  \vdots\\  v'_{n}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
v'_{1}\\  \vdots\\  v'_{n}
\end{array}}\right)$.

Importante: para formas hermíticas -en las que f (u, v) = $ \overline{{f(v,u)}}$ y lineales en la primera- el cambio de base es: MUCHO OJO CON ESTO!:

f (u, v) = (u1 ... un)PtM$\displaystyle \overline{{P}}$$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
\overline{v_{1}}\\  \vdots\\  \overline{v_{n}}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
\overline{v_{1}}\\  \vdots\\  \overline{v_{n}}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
\overline{v_{1}}\\  \vdots\\  \overline{v_{n}}
\end{array}}\right)$;   i.e. M' = PtM$\displaystyle \overline{{P}}$

$ \qedsymbol$

Primer invariante asociado a una matriz de una forma bilineal: Supongamos que nuestra forma f es simétrica, antisimétrica o hermítica. Entones el núcleo ker(f ) está bien definido y tiene dimensión r, por ejemplo. Sea M una matriz de f en una base cualquiera. Un vector v está en el núcleo si y sólo si la aplicación f ( . , v) es exactamente la aplicación 0. Ergo si y sólo si

M$\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
v_{1}\\  \vdots\\  v_{n}
\end{array}}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{
\begin{array}{c}
0\\  \vdots\\  0
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{c}
0\\  \vdots\\  0
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{c}
0\\  \vdots\\  0
\end{array}}\right)$

es decir, si es solución del sistema homogéneo que define M. Pero las soluciones de este sistema homogéneo son un subespacio vectorial de V de dimensión n - rg(M). De donde

n - rg(M) = dim(ker(f )).

Problemas: ¿dónde he utilizado que f sea simétrica? Hacer esta demostración para las hermíticas.

HASTA AQUÍ LA CLASE 3 990212


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Pedro Fortuny Ayuso 2001-06-15