Espacios métricos, etc...

Hasta ahora hemos estudiado el espacio afín como mero conjunto de puntos con una estructura ``lineal'' heredada del espacio vectorial subyacente. Pero para obtener una buena imagen de la realidad hay que utilizar algún concepto más. En concreto, es ya el momento de introducir las formas bilineales para estudiar la geometría del espacio. Una forma bilineal simétrica no es más, recuerdo, que la generalización de la noción de producto escalar.

Así pues, fijamos un espacio vectorial V sobre los números reales, de dimensión n. Sea también $\mathbb {A}$ un espacio afín sobre V.

Definición 3.2.1   Un espacio vectorial métrico es un par (V, g) donde g es una forma bilineal simétrica definida positiva. Un espacio euclídeo (o espacio afín euclídeo) es un espacio afín $\mathbb {A}$ cuyo espacio vectorial subyacente tiene asociada una forma bilineal definida positiva (es decir, que es un e. v. métrico).

Habitualmente, como la forma bilineal g será fija, utilizaremos la siguiente notación: si u, v $\in$ V son vectores, entonces < u, v > es, por definición, g(u, v) y u² = < u, u >. La matriz de g en una base se escribirá, como es habitual, (g_ij). Por el teorema de Gram-Schmidt, sabemos que existe un base de V que es ortonormal para g. Siempre que tomemos un espacio vectorial euclídeo, supondremos (salvo que se diga lo contrario) que hemos fijado una base ortonormal. Llamaremos producto escalar a la forma bilineal g.

Definición 3.2.2   El módulo de un vector v $\in$ V es |v|= $\sqrt{{v^{2}}}$. Está claro que si escribimos v en una base ortonormal, v = (v₁,..., v_n), entonces |v|= $\sqrt{{v_{1}^{2}+\dots+v_{n}^{2}}}$.

LEMA 3.2.3 (Propiedades inmediatas del módulo)   El módulo cumple las siguientes propiedades:

• Para todo v de V se tiene |v|$\geq$ 0 y, de hecho, |v|= 0 si y sólo si v = 0.
• Para todo v de V y todo escalar $\lambda$, |$\lambda$v|=|$\lambda$||v|.
• Si u, v son linealmente dependientes, entonces |u||v|= < u, v >.
• Si u, v son linealmente independientes, entonces |u||v|>|< u, v >|. Esta propiedad, junto con la anterior se escribe |u||v|$\geq$|< u, v >| y se llama desigualdad de Schwartz.
• Para u, v $\in$ V, es |u + v|$\leq$|u|+|v|. (Desigualdad triangular).

La demostración es muy sencilla y no la hago. Compensa que las intentéis hacer por vosotros mismos.

Definición 3.2.4   Sea E = ($\mathbb {A}$, V) un espacio euclídeo. Dados dos puntos $\bf A$,$\bf B$, se llama distancia de $\bf A$ a $\bf B$ al módulo del vector $\bf AB$, es decir:

d ($$\bf A$$,$$\bf B$$) =|$$\bf AB$$|.

LEMA 3.2.5 (Propiedades inmediatas de la distancia)   Se tienen los siguientes resultados:

• d ($\bf A$,$\bf B$) $\geq$ 0 para cualesquiera $\bf A$ y $\bf B$. Además, d ($\bf A$,$\bf B$) = 0 si y sólo si $\bf A$ = $\bf B$.
• d ($\bf A$,$\bf B$) = d ($\bf B$,$\bf A$). (Simetría).
• d ($\bf A$,$\bf B$) $\leq$ d ($\bf A$,$\bf C$) + d ($\bf C$,$\bf B$). Desigualdad triangular.

En un espacio euclídeo, se llama referencia ortonormal a una referencia $\mathcal {R}$ = ($\bf O$,(e₁,..., e_n)) tal que la base (e₁,..., e_n) de V es ortonormal para el producto escalar. Fijada una referencia ortonormal, es claro que si dos puntos $\bf A$,$\bf B$ tienen respectivamente coordenadas (a₁,..., a_n) y (b₁,..., b_n), entonces

|$$\bf AB$$|= $$\sqrt{{\sum(b_{i}-a_{i})^{2}}}$$.