El grupo ortogonal y el grupo de movimientos

Ya hemos visto en el lema 3.6 que la composición de isometrías es una isometría y que la composición de movimientos es un movimiento. Es evidente que la composición de isometrías (respectivamente, de movimentos) cumple la propiedad asociativa. La identidad es una isometría (respectivamente, un movimento). Que el inverso de una isometría es una isometría es una comprobación elemental: suponiendo que $\varphi$ : V $\rightarrow$ V es una isometría, su inverso $\varphi^{{-1}}_{}$ lo es porque dados u, v $\in$ V y tomadas sus imágenes por $\varphi^{{-1}}_{}$, $\varphi^{{-1}}_{}$(u),$\varphi^{{-1}}_{}$(v), se tiene que (al ser $\varphi$ una isometría):

< $$\varphi^{{-1}}_{}$$(u),$$\varphi^{{-1}}_{}$$(v) > = < $$\varphi$$($$\varphi^{{-1}}_{}$$(u)),$$\varphi$$($$\varphi^{{-1}}_{}$$(v)) > = < u, v > ,

es decir, que $\varphi^{{-1}}_{}$ es una isometría. De aquí se deduce inmediatamente que el inverso de un movimiento es un movimiento (recuérdese que el inverso de una afinidad es una afinidad y que una afinidad es un movimiento si y sólo si su automorfismo asociado es la identidad, etc.). Así pues, tanto las isometrías de un espacio métrico como los movimientos de un espacio euclídeo, forman un grupo. El grupo de las isometrías de (V, g) se llama grupo ortogonal de V. Si V es $\mathbb {R}$ⁿ, se llama grupo ortogonal n -dimensional real. Se denotan $\mathcal {O}$(V) y $\mathcal {O}$_n($\mathbb {R}$). El grupo de movimientos de E se denota Mov(E).

Ya hemos visto que, fijada una base (e₁,..., e_n) ortonormal en V, el grupo ortogonal de V es isomorfo al grupo de matrices cuadradas n×n cuyas matrices inversa y traspuesta coinciden. Puesto que todo movimiento es composición de una traslación y un movimiento que deja fijo un punto, es claro que, una vez tomada una referencia ortonormal, el grupo de movimientos de un espacio euclídeo E es igual al grupo de matrices del tipo

M = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{c... ...begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}& M' \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{ccc} 0 & \dots & 0... ...\hline \begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}& M' \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{c\vert c} {\bf 1}& \begin{array}{c... ...begin{array}{c} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{array}& M' \end{array}}\right)$$

donde M' es la matriz de una isometría, es decir, M'^-1 = M'^t. De aquí se deduce que todo movimiento es composición de una traslación y de un movimiento que deja fijo un punto.

Definición 3.3.8   Diremos que una isometría es una rotación si conserva la orientación. En términos matriciales, una isometría es una rotación si el determinante de su matriz en cualquier base es positivo. Si hemos fijado una base ortonormal, entonces una isometría es una rotación si y sólo si su determinante es +1. Diremos que un movimiento es directo si su isometría asociada es una rotación. Es evidente que las traslaciones son movimientos directos (su isometría asociada es la identidad).